PROGRAMMA DI MATEMATICA

CLASSI 5^S e 5^V - anno scolastico 2003/2004 (insegnante: Gaetano Speranza)

Funzioni e loro dominio. Funzioni reali di una variabile. Funzioni reali lineari di variabile reale e loro rappresentazione. Intervalli in R e topologia della retta reale.

Modellii lineari ( y = a x ) e loro traslati ( y = a x + b ). Retta passante per due punti nel piano cartesiano.

Modelli quadratici ( y = a x² ) e loro traslati ( y = a x² + b x + c ). Determinazione della traslazione che trasforma y = a x² in

y = a x² + b x + c .

Velocità di crescita di una funzione. Approssimazione del grafico di una funzione in un suo punto con la retta tangente (problema della linearizzazione locale); il concetto di derivata, esaminato anche con l’uso del computer.

Il concetto di differenziale per funzioni di una variabile reale: approssimazione dell’incremento effettivo con l’incremento lineare.

Principali derivate (delle funzioni y = costante , y = xⁿ , y = a^x , y = sin x , y = cos x , con le relative dimostrazioni) e delle tecniche di derivazione di applicazione delle formule di derivazione di somme, prodotti, composizioni di funzioni.

Applicazioni di tali regole alla determinazione delle derivate di funzioni più composte, quali y = tg x = sin x / cos x .

Le funzioni goniometriche inverse arcsin, arccos, arctg e le loro derivate .

Studio di una funzione utilizzando il calcolo differenziale, con applicazioni a semplici casi.

Successioni ( funzioni con dominio N⁺ ) e limiti di successioni e di funzioni : il numero di Nepero come limite della successione (1+1/n) ⁿ . Richiami delle regole di calcolo con i logaritmi.

Limiti collegati al limite di Nepero. Limite di sin x / x per x tendente a zero. Cenni al concetto di serie.

Il problema della misura dell’area sottesa dal grafico di una funzione (ossia compresa fra questo e l’asse delle ascisse) e compresa fra rette verticali di ascisse date.

Definizione dell’integrale definito di una funzione esteso ad un intervallo [a,b] , introdotto come applicazione dei concetti di limite di una successione e dell’operatore di sommatoria e con equisuddivisione dell’intervallo di integrazione : scaloidi anticipato (o sinistro) e posticipato (o destro) approssimanti. Estensione del processo di integrazione definita al caso di suddivisione qualunque dell’intervallo.

Integrale definito di una somma di funzioni, del prodotto di una funzione per un numero (multiplo di una funzione). Scambio degli estremi di integrazione. Suddivisione dell’intervallo di integrazione [a,b] in unione di sottointervalli [a,c] e [c,b].

Teorema fondamentale del calcolo integrale e collegamento dell’integrale definito con le primitive della funzione integranda.

Integrale indefinito di una funzione, ovvero insieme delle primitive di questa. Esame della motivazione e del significato geometrico della costante di integrazione a meno della quale è individuata una primitiva.

Integrazione, definita e indefinita, per parti, per sostituzione, per decomposizione in somma della funzione integranda.