UNITA' FANTA-IMMAGINARIA |
Cosa accade se l'unità immaginaria i non "sta" dove di consueto |
nella seguente c è l'unità immaginaria ( ossia i ) |
h e k sono la parte reale e il coefficiente della parte immaginaria di b |
n è l'ortogonale di a (n come "normale", sinonimo di "ortogonale") |
la circonferenza goniometrica (centro 0 e raggio 1) è in colore blu |
| m è il prodotto ab (prova a scegliere col mouse vari valori di a e di b) |
| puoi spostare il centro della circonferenza spostando da 0 il punto d |
| puoi aumentare il raggio della circonferenza con la barra spaziatrice |
| puoi tornare al raggio 1 digitando C (="clear") dalla tastiera |
| puoi spostare tutta la figura trascinandola col tasto destro del mouse |
| puoi ingrandire o rimpicciolire tutta la figura con i tasti + e - |
| muovendo c visualizzi cosa accade quando i viene posta in c |
| conclusione: uno stesso sistema algebrico descrive più situazioni |
venerdì 19 dicembre 2003
UNITA'  ...
mercoledì 17 dicembre 2003
sabato 13 dicembre 2003
...
( per i numeri immaginari ) |
| muovendo b si modifica la lunghezza del segmento verticale (all'inizio pari a 3.14) |
| muovendo a si modifica la grandezza del numero naturale f (all'inizio f=6) |
indicata con t l'ordinata di b, si ha : m = 1 + i t , g = 1 + i t / f , k = ( 1 + i t / f )f |
la funzione esponenziale viene definita come exp(x) := lim f®¥ ( 1 + x / f )f |
| al tendere di f all'infinito, k tende a exp(it) , che è il punto della circonferenza goniometrica estremo insieme a 1 di un arco di lunghezza t (avvolgimento di t) |
| a seconda del segno di t l'avvolgimento avviene in senso antiorario oppure orario |
venerdì 12 dicembre 2003
Somma di...
| bordercolorlight="#00FFFF">Somma di angoli : con c scegli |
| bordercolorlight="#00FFFF"> |
| bordercolorlight="#00FFFF">la somma di a e b |
| bordercolorlight="#00FFFF"> |
| bordercolorlight="#00FFFF">Nella figura il punto d può essere spostato |
| bordercolorlight="#00FFFF">ricordando che a(1) =(cos |
domenica 7 dicembre 2003
il "decalogo" ...
| il "decalogo" della moltiplicazione fra numeri complessi |
| Puoi muovere col mouse i numeri complessi a e b. Il prodotto a*b è f . |
| il piano nelle figure può essere traslato col mouse tenendo premuto il tasto CONTROL (Ctrl) |
1) prendiamo in esame l'esempio: 3*b = (1+1+1)*b = b+b+b (ad ogni 1 si sostituisce b) |
| 2) sappiamo che l'ortogonale (antiorario) di z=x+yi è ort(z)=-y+xi, in particolare ort(1) = i |
| 3) procediamo come in 1) con: (3+2i)*b=(1+1+1+ort(1)+ort(1))*b=b+b+b+ort(b)+ort(b) |
| 4) si "induce" la definizione: a*b = (p+qi)*b = p b + q ort(b) = Re(a) b + Im(a) ort(b) |
| 5) se b = x+yi , si ha: a*b = (p+qi)*(x+yi) = p(x+yi) + q(-y+xi) = (px-qy) + (py+qx)i |
| 6) graficamente, moltiplicare a per b significa "rotodilatare" a così come 1 si "rotodilata" in b |
| 7) la "dilatazione" può essere anche "contrazione", a seconda di quanto b "dista" da 0 |
| 8) conj(b)=Re(b)-Im(b)i è il "coniugato" di b ossia il simmetrico di b rispetto all'asse reale |
| 9) b "dista" da 0 quanto 1 da 0 quando la stessa rotodilatazione porta 1 in b e conj(b) in 1 |
| 10) per visualizzare 9) porta a in conj(b); in tal caso, se b dista 1 da 0, f=a*b=conj(b)*b=1 |
| per comodità si è posto a=conj(b), quindi b dista 1 da 0 quando f=conj(b)*b=1 |
giovedì 4 dicembre 2003
Rotazioni into...
| Rotazioni intorno all'origine 0 (angoli) : muovi c per scegliere l'angolo |
| una rotazione a intorno all'origine (angolo) porta 1 in a(1)=(a,b)=f |
| proprietà 1) a( i ) = a( 0 , 1 ) = ( -b , a ) = g (ortogonalità) |
proprietà 2) a( d ) = a( x , y ) = a( x 1 + y i ) = x f + y g = n (conservazione delle coordinate) |
| proprietà 3) a( h ) = a( a , -b ) = 1 (rigidità) |
| (x', y') = a(x,y) = x a(1) + y a(i) = x(a,b) + y(-b,a) = ( xa-yb , xb+ya ) (rotazione) | |
| ( 1 , 0 ) = a( a , -b ) = ( a2 + b2 , 0 ) , quindi a2 + b2 = 1 (relazione pitagorica) | |
cos a := a (definizione di coseno) | sin a := b (definizione di seno) |
G := C1 := { (a,b) : a2 + b2 = 1 } (circonferenza goniometrica) | |
| c = ( p , q ) = t f , f Î G , t ³ 0 Þ t = | c | := Ö( p2 + q2 ) (modulo) | |
| ( 1 , m ) = | ( 1 , m ) | a(1) Þ cos a ¹ 0 , m = tg a := sin a / cos a (tangente) | |
martedì 2 dicembre 2003
| Se durante il navigare in questo o in altri siti appare una finestra che propone o esige il tuo assenso o una conferma ad una installazione di programma o esorta a dire "sì" o dare "ok" a qualche azione o qualche "perfezione", consiglio è di chiuderla con l' x posta sulla monella in alto a destra o - se tale facoltà non l'han lasciata - beccando la finestra incriminata con clic sulla sua barra superiore e poi schiacciando insieme ALT-F4. Di questo la cagione dove sta? Risponne er cinesino pe' cita' : " Alma a commelcio è pubblicità , mentle suo còlpo è fatto . . . pe' flega' " |
venerdì 28 novembre 2003
The answer ...
The answer my friend was blowing in the wind ? Thy answer ... has blown away in the wind ! |
martedì 25 novembre 2003
...
muovi il punto a nell'applet, esplora il comportamento usando anche il pulsante "details".
Come funziona il meccanismo per produrre poligoni regolari? (classe 4^R)
lunedì 24 novembre 2003
sabato 22 novembre 2003
giovedì 20 novembre 2003
martedì 18 novembre 2003
sabato 15 novembre 2003
Interessanti applet su numeri complessi e algebra lineare
(UCLA Mathematics Department di Los Angeles)
... mentre qui, vicino casa ...
venerdì 14 novembre 2003
giovedì 13 novembre 2003
classe 2^ R
Esercitazione con Cabri : macro “sistema di riferimento su due punti” | ||
consiglio : attiva la guida in linea col tasto <F1> | ||
passo | strumento | azione / creazione |
1 | punto | punti 0 e 1 |
2 | segmento | segmento da 0 a 1 |
3 | retta perpendicolare | retta per 0 perpendicolare al segmento 01 |
4 | circonferenza | circonferenza con centro in 0 e raggio in 1 |
5 | punto | intersezione di retta (3) e circonferenza (4), nome = i |
6 | mostra/nascondi | nascondi (2), (3), (4) |
7 | nuovi assi | assi per i punti 0, 1, i |
8 | oggetti iniziali | seleziona i punti 0 e 1 |
9 | oggetti finali | seleziona gli assi (7) (indica solo l’asse x) |
10 | definizione macro | dai alla macro il nome: assi su due punti ; premi <invio> |
11 | assi su due punti | clicca su due punti distinti del piano |
12 | file > salva | salva il foglio di lavoro col nome: assi su due punti |
lunedì 10 novembre 2003
domenica 9 novembre 2003
La formula di Eulero per i numeri immaginari
l'applet anima al crescere del numero naturale n la poligonale avente per vertici i punti (1+it/n)k, con k da 0 a n, per cui l'ultimo vertice è (1+it/n)n, espressione che tende a exp(it)=eit . Il valore di t può essere modificato col mouse.
L'animazione sul parametro n è molto lenta, per cui può convenire scaricare la figura cabri (doppio clic sull'applet e, dalla barra che appare inferiormente, selazionare "scarica la figura" - ultimo pulsante) e lavorare diettamente da Cabri-Géomètre.
Per scaricare direttamente la figura "zippata", clicca qui
sabato 8 novembre 2003
venerdì 7 novembre 2003
giovedì 6 novembre 2003
domenica 2 novembre 2003
giovedì 30 ottobre 2003
mercoledì 29 ottobre 2003
martedì 28 ottobre 2003
lunedì 27 ottobre 2003
| Densità, continuità, divisibilità |
Densità Ciò deriva dall’assioma: x ∈ R+ ⇒ ∃ x’∈ R+ x-x’∈ R+ . Infatti, preso x’ in modo che x’>0 e x’<y-x , si ha x<x+x’<y . Conseguenze : Teorema (di subdimezzabilità o subdivisibilità binaria) : dato x>0, esiste y>0 tale che 2y=y+y<x . dimostrazione: preso z>0 tale che z<x (l’esistenza di un tale z è postulata dall’assioma precedente), se anche 2z<x si prende y=z, altrimenti si prende y<x-z (infatti da 2z ≥ x segue x-z ≤ z e quindi 2x-z ≤ x+z , quindi 2(x-z)=2x-2z ≤ x) Teorema (di subdivisibilità) : dato n numero naturale non nullo e dato x>0, esiste y>0 tale che ny < x . dimostrazione: si procede per induzione su n. Se n=1 l’asserto coincide con l’assioma di densità. Supposto che esista y>0 tale che ny<x , dalla subdimezzabilità segue l’esistenza di un y’>0 tale che 2y’<y , per cui si ha: (n+1)y’ ≤ 2ny’ < ny < x . |
| Continuità Definizioni : 1) dati A e B sottoinsiemi di R si dice che A precede B (scrivendo A<<B) se A e B sono non vuoti e ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B. (In particolare ne segue che A e B sono disgiunti) 2) intervalli : [a,b] := {x : a ≤ x ≤ b} , ]a,b] := {x : a < x ≤ b} , [a,b[ := {x : a ≤ x < b} , ]a,b[ := {x : a < x < b} , semirette : [a , ∞ [ := {x : a ≤ x } , ]a , ∞ [ := {x : a < x } (illimitate superiormente) ; ]-∞ , a] := {x : x ≤ a } , ]-∞ , a[ := {x : x < a } (illimitate inferiormente) . 3) un sottoinsieme A di R è detto “collocato inferiormente” se precede il suo complementare; un sottoinsieme B di R è detto “collocato superiormente” se il suo complementare lo precede. Assioma di continuità (di R) : Ogni sottoinsieme di R collocato inferiormente è una semiretta illimitata inferiormente Assioma di continuità (di R+) : Ogni sottoinsieme di R+=]0,∞[ collocato inferiormente è un intervallo del tipo ]0,a] oppure ]0,a[. L’elemento a è detto “separatore” (o “elemento di separazione”) fra A e il suo complementare. Esso è anche detto “estremo superiore” di A e “estremo inferiore” del complementare di A ; nel caso in cui esso appartiene ad A (ossia A=]-∞ , a] oppure ]0,a] ) è detto “massimo” di A , mentre nel caso esso non appartiene ad A (ossia A=]-∞ , a[ oppure ]0,a[ ) esso è detto “minimo” del complementare di A. |
| Divisibilità : se n è un numero naturale non nullo, per ogni x>0 esiste un unico y>0 tale che ny = x. (Se invece x<0, allora esiste un unico y<0 tale che n y = x , per provare la quale cosa si procede a dividere –x>0 e poi a cambiare di segno il risultato della divisione). La dimostrazione (che nel caso n=1 è ovviamente inutile) si ottiene considerando i due insiemi seguenti : |
domenica 26 ottobre 2003
venerdì 24 ottobre 2003
Esercizio - 3^S |
Sia P=(1,1) e Q=(r,0), con r non negativo; 1) determinare l’equazione della retta s passante per P e Q 2) determinare l’equazione della retta s_|_(P) passante per P e perpendicolare a s 3) determinare l’equazione della retta s_|_(Q) passante per Q e perpendicolare a s 4) determinare l’equazione della retta s_|_(M) passante per M=(punto medio fra P e Q) e perpendicolare a s 5) detta q(r) la intercetta sulle ordinate della retta al punto (4), stabilire per quali valori di r tale intercetta è positiva, nulla o negativa 6) il caso relativo a q(r)=0 corrisponde ad avere un triangolo isoscele nella figura rappresentante la configurazione per tale caso. Quale è tale triangolo? 7) generalizzare quanto fatto nei precedenti punti (1)...(6) al caso di un punto P=(a,b) con b>0. |
giovedì 23 ottobre 2003
PROGRAMMA DI MATEMATICA
CLASSI 5^S e 5^V - anno scolastico 2003/2004 (insegnante: Gaetano Speranza)
Funzioni e loro dominio. Funzioni reali di una variabile. Funzioni reali lineari di variabile reale e loro rappresentazione. Intervalli in R e topologia della retta reale.
Modellii lineari ( y = a x ) e loro traslati ( y = a x + b ). Retta passante per due punti nel piano cartesiano.
Modelli quadratici ( y = a x2 ) e loro traslati ( y = a x2 + b x + c ). Determinazione della traslazione che trasforma y = a x2 in
y = a x2 + b x + c .
Velocità di crescita di una funzione. Approssimazione del grafico di una funzione in un suo punto con la retta tangente (problema della linearizzazione locale); il concetto di derivata, esaminato anche con l’uso del computer.
Il concetto di differenziale per funzioni di una variabile reale: approssimazione dell’incremento effettivo con l’incremento lineare.
Principali derivate (delle funzioni y = costante , y = xn , y = ax , y = sin x , y = cos x , con le relative dimostrazioni) e delle tecniche di derivazione di applicazione delle formule di derivazione di somme, prodotti, composizioni di funzioni.
Applicazioni di tali regole alla determinazione delle derivate di funzioni più composte, quali y = tg x = sin x / cos x .
Le funzioni goniometriche inverse arcsin, arccos, arctg e le loro derivate .
Studio di una funzione utilizzando il calcolo differenziale, con applicazioni a semplici casi.
Successioni ( funzioni con dominio N+ ) e limiti di successioni e di funzioni : il numero di Nepero come limite della successione (1+1/n) n . Richiami delle regole di calcolo con i logaritmi.
Limiti collegati al limite di Nepero. Limite di sin x / x per x tendente a zero. Cenni al concetto di serie.
Il problema della misura dell’area sottesa dal grafico di una funzione (ossia compresa fra questo e l’asse delle ascisse) e compresa fra rette verticali di ascisse date.
Definizione dell’integrale definito di una funzione esteso ad un intervallo [a,b] , introdotto come applicazione dei concetti di limite di una successione e dell’operatore di sommatoria e con equisuddivisione dell’intervallo di integrazione : scaloidi anticipato (o sinistro) e posticipato (o destro) approssimanti. Estensione del processo di integrazione definita al caso di suddivisione qualunque dell’intervallo.
Integrale definito di una somma di funzioni, del prodotto di una funzione per un numero (multiplo di una funzione). Scambio degli estremi di integrazione. Suddivisione dell’intervallo di integrazione [a,b] in unione di sottointervalli [a,c] e [c,b].
Teorema fondamentale del calcolo integrale e collegamento dell’integrale definito con le primitive della funzione integranda.
Integrale indefinito di una funzione, ovvero insieme delle primitive di questa. Esame della motivazione e del significato geometrico della costante di integrazione a meno della quale è individuata una primitiva.
Integrazione, definita e indefinita, per parti, per sostituzione, per decomposizione in somma della funzione integranda.
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