radici dell'unità e poligoni regolari

circonferenza goniometrica

C(0,1) = { u∈C :  u·ū = 1 }    ( v. def. di punto unitario )

C(0,1) = { (x,y)∈R² :  x²+ y² = 1 }

funzione goniometrica

t  →  P( t ) ∈ C(0,1) ,  con t∈R

proprietà di base della funzione goniometrica

P( α + β ) = P( α ) · P( β )

P(π/2) = i = (0,1) = 1⊥

P( 0 ) = 1 = (1,0)   (derivabile dalla prima)

P( -α ) = P( α )   (derivabile da prima e terza)

definizione fondamentale

P( α ) = ( cos α , sin α ) = cos α + i sin α

prime proprietà derivate da quelle di base

P(π)=P(π/2+π/2)=P(π/2)·P(π/2)=i²=-1

P(3π/2) = P( π + π/2) = (-1)·P(π/2) = -i

P(2π) = P(π+π) = P(π)·P(π) = (-1)(-1) = 1

P(t+2π) = P(t)·P(2π) = P(t)

angoli associati

P(t+π) = P(t)·P(π) = P(t)·(-1) = -P(t)

P(t+π/2) = P(t)·P(π/2) = P(t)·i = P(t)⊥

P(t-π/2)=P(t)·P(-π/2)=P(t)·ī=P(t)·(-i)= - P(t)⊥

P(π-t) = P(π)·P(-t) = P(π)·P(t) = -P(t)

P(π/2-t)=P(π/2)·P(-t)=P(π/2)·P(t)=i·P(t)=(P(t))⊥

P(2π-t) = P(2π)·P(-t) = P(2π)·P(t) = P(t)

P(-π/2-t)=P(-π/2)·P(-t)=(-i)·P(t)= - (P(t))⊥

qui sotto, usa i punti   b ,  c ,  d    come "interruttori" : prova a portare uno o più di questi punti sopra l'asse delle ascisse

il morfismo additivo-moltiplicativo esponenziale

In figura   a ,  b   e   c    possono essere mossi col mouse

La funzione rappresentata in figura è f(x)=ax , con a>0 ; illustriamo geometricamente la proprietà  f(b+c) = f(b)·f(c), ossia:     ab+c = ab · ac  . Si riporta l'ordinata di  h=(b,f(b)) parallelamente all'asse delle ascisse fino ad incontrare la retta verticale  x=1. Si ottiene (1,f(b)), e per tale punto si conduce la retta passante per l'origine, di equazione y=f(b)·x D'altra parte si riporta il punto k=(c,f(c)) sull'asse delle ordinate, ottenendo il punto (0,f(c)) e si riporta questo sul punto (f(c),0) dell'asse delle ascisse  tramite la retta parallela al segmento congiungente (1,0) con (0,1). Dal punto (f(c),0) trovato si sale in verticale fino ad incontrare la retta per l'origine determinata prima nel punto  (f(c),f(b)·f(c)) . Infine si riporta quest'ultimo punto all'ascissa n=b+c, determinando così il punto m=(n,f(b)·f(c))=(b+c,f(b)·f(c))=(b+c,f(b+c)), che sta su  f .

Tale costruzione nel caso  b=1 permette di costruire f(x) con x=0,1,2,3,...

clicca sulla figura e poi premi più volte la barra spaziatrice ( premi il tasto  c  per ritornare al punto iniziale )

Si parte da  x=0 ,  k=(x,f(x))=(0,f(0))=(0,1) e  m=(x+1,f(x+1))=(1,f(1))=(1,a)=h e ad ogni pressione della barra spaziatrice si passa  da  x  a  n=x+1 ;   dopo la prima pressione si ha:  k=(1,f(1))=h  e  m=(2,f(2))=(2,f(1)2); dopo la seconda:  k=(2,f(2))  e  m=(3,f(3))=(3,f(2)f(1))=(3,f(1)3), ecc...

Spostando il punto  d  fino a dargli ascissa, ad esempio, 2, si passa ad avanzamenti non più di 1, bensì di 1/2, dividendo quindi l'asse delle ascisse in tratti di 1/2 e partendo da  h=(1/2,f(1/2))=(1/2,a1/2).

Spostando il punto  d  fino a dargli ascissa, ad esempio, 3, si passa ad avanzamenti non più di 1, bensì di 1/3, dividendo quindi l'asse delle ascisse in tratti di 1/3 e partendo da h=(1/3,f(1/3))=(1/3,a1/3).

e così via ...  (quindi  d  determina in quante parti dividere l'unità)

moltiplicazione grafica di numeri complessi

Prendi due punti  ( numeri complessi )    a    e    b

congiungi con segmenti  a  con la sua ascissa  ax  e con la sua ordinata  ay·i

congiungi con segmenti  b  con la sua ascissa  bx  e con la sua ordinata  by·i

congiungi con segmenti i punti   1   e   i   e poi i punti   -1   e   i

traccia per il punto ax  la parallela al segmento  1_i  e determinane l'intersezione con l'asse delle ordinate: questo punto è  ax·i

traccia per il punto  ay·i  la parallela al segmento  -1_i  e determinane l'intersezione con l'asse delle ascisse:  questo punto è   -ay

costruisci la verticale per  -ay  e l'orizzontale per  ax·i : la loro intersezione è il punto  n = -ay + ax·i = a^   normale  ( ortonormale )  al punto  a

congiungi con segmenti i punti   1   e   a   e poi i punti   i   e   n

traccia per il punto bx  la parallela al segmento  1_a  e determinane l'intersezione con la retta   0_a :   questo punto è  bx·a

traccia per il punto by  la parallela al segmento  i_n  e determinane l'intersezione con la retta   0_n :   questo punto è  by·n

traccia per  bx·a  la parallela a  0_n  e per  by·n  la parallela a  0_a : l'intersezione di tali rette  è  m = bx·a + by·a^ = (bx·1 + by·1^)·a = b·a