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all'inizio viene evidenziata la parabola 0.5(x-1)2 + 2

il "coefficiente di forma" della parabola è 1/2=0.5 , indichiamolo con f

il "vertice" della parabola è (1 , 2) , indichiamolo con d = (h , k) = h+ki = h+m =1+2i

muovendo in orizzontale col mouse il punto di input a modifichi f = ax

muovendo col mouse il punto di input d modifichi il vertice d = (dx , dy)

la parabola di equazione y = f (x-h)2 è traslata di h della parabola y = f x2

h = dx è detto "spostamento orizzontale" (infatti è un numero reale)

per traslare la parabola y=f(x-h)2 in verticale di k si aggiunge ki=m a ogni punto

e così si ottiene l'equazione y = f (x-h)2 + k , parabola y = f x2 traslata di d=(h,k).

Supponiamo adesso di avere da graficare la equazione y = a x 2 + b x + c

determiniamo f , h e k in modo che a x 2 + b x + c = f (x-h)2 + k

si ha : a x 2 + b x + c = f (x-h)2 + k = f x 2 - 2 f h x + f h 2 + k

l'uguaglianza si realizza quando : a = f , b = - 2 f h , c = f h 2 + k

ossia : b = - 2 a h ( quindi h = -b/2a ) e c = a h 2 + k ( quindi k = c- a h 2 )

troviamo quindi : f = a , h = -b/2a , k = c- a h 2 = c - a (-b/2a)2 = c - b2 / 4a

quindi il vertice è d = (h , k) = ( -b / 2a , c - b2 / 4a ) (coordinate del vertice)

pertanto y=ax2+bx+c ha per grafico la parabola di forma y=ax2 ma con vertice d

( nota che il parametro a dell'equazione è solo l'ascissa del punto a della figura )

se vogliamo risolvere l'equazione ax2+bx+c=0 , scriviamola come f (x-h)2 + k = 0

ricaviamo (x-h)2 = -k/f quindi x-h = ±Ö(-k/f), ossia x = h ±Ö(-k/f)

esprimendo f, h, k tramite a, b, c otteniamo la formula risolutiva x=(-b±Ö(b2-4ac))/2a

di solito si pone D = b2-4ac (detto "delta" o "discriminante" dell'equazione di 2° grado)

Riassumendo: l'equazione  a x 2 + b x + c = 0   ha soluzioni x = ( -b ± ÖD ) / 2a

Parabola e circonfer...

Parabola e circonferenza  (classe seconda)

costruzione della parabola unitaria ( y = x2 ) mediante moltiplicazione grafica

nella figura muovendo col mouse il punto a   si modifica il punto k sull'asse delle ascisse

si trasporta k = (k,0) sull'asse delle ordinate e si costruiscono così i punti (0,k) e (1,k)

si traccia la retta passante per l'origine e per il punto (1,k), tale retta ha equazione y=kx

su tale retta si individua il punto di ascissa x = k, tale punto è m = ( k , kk ) = ( k , k2 )

al variare di k sull'asse delle ascisse (a tal fine muovi a) il punto m descrive la parabola

 

costruzione della circonferenza unitaria tramite la parabola unitaria

 

 

in questa pagina si ...

in questa pagina si possono (fra le altre cose) trovare (in inglese):

• gli "Elementi" di Euclide corredati di applets interattive ;


• costruzioni geometriche con riga e compasso (sempre con applets) ;


• un'introduzione alla trigonometria (neanche a dirlo, anche qui, con applets) ;


• un'esposizione (tradizionale) dei numeri complessi (vedi qui sotto a "commenti") ;


• storia della matematica ;


• i "23 problemi" di Hilbert ;


• frattali, caleidoscopi, ecc...