Base cinque: appunti di matematica ricreativa
martedì 30 novembre 1999
Esercitazione con esplorHTML |
Prova le seguenti stringhe di codice html |
1) valutatore con doppio clic sull'area di output : |
| 1bis) come sopra con una piccola differenza ( quale? ) : ******************************************************************** <input id=input type=text value=""> = <input id=output type=text value="" ondblclick="output.value=eval(input.value)"> ******************************************************************** |
| 2) valutatore con singolo clic sul pulsante " = " ( l'evento che attiva la valutazione sarà il clic sul pulsante "=" ) ******************************************************************** <input id=input type=text value="" > <input type=button value="=" onclick="output.value=eval(input.value)" > <input id=output type=text value="" > ******************************************************************** |
con le caselle ottenute da 1 e da 2 valuta le seguenti espressioni: |
| 3) trasformatore in maiuscolo ******************************************************************** <input id=input type=text value="" onkeyup="output.value=input.value.toUpperCase()" > --> <input id=output type=text value="" > ******************************************************************** |
| 4) invertitore di stringhe ******************************************************************** <input id=input type=text value="" onkeyup="output.value=input.value.charAt(input.value.length-1)+ output.value" > --> <input id=output type=text value="" > ******************************************************************** |
da oggi un nuovo blo...
da oggi un nuovo blog sulle novità editoriali riguardanti la matematica (e non solo)
... il metodo ...
| ... il metodo piu' rigoroso e' anche il piu' semplice ed il piu' facile a capirsi. La ricerca del rigore ci conduce a scoprire ragionamenti sempre piu' semplici, e ci apre inoltre la strada a metodi piu' fecondi di quelli antichi, che erano meno rigorosi. |
moltip...
moltiplicazione con coefficiente intero |
nella seguente clicca ripetutamene sul pulsante Step ( per tornare all'inizio clicca invece sul pulsante Clear ) |
invece di Step si può cliccare sulla figura (solo una prima volta per selezionarla) e premere la barra spaziatrice più volte |
puoi ingrandire o rimpicciolire tutta la figura con i tasti + e - |
notiamo che nb è costruito da b tramite l'addizione così come n è costruito da 1 con l'addizione ( "nb sta a b come n sta 1" ) |
in maniera diversa possiamo dire: nb è la somma di n copie di b (ossia è il risultato del sommare b a se stesso n volte) |
mentre n cresce descrivendo i numeri naturali, m = -n decresce descrivendo gli interi negativi ( dopo la partenza da 0 ) |
| anche per mb = (-n)b possiamo dire che come m è costruito da 1 tramite addizione e opposizione, così mb è ottenuto da b |
| infatti, possiamo prima passare da 1 a -1 (con l'opposizione) e poi sommare tanti -1 fino ad arrivare a -n ; questo porta a costruire, partendo da b, prima -b e quindi n(-b), che coincide con -nb |
| alternativamente, possiamo partire dal sommare tante volte 1 fino ad arrivare a n e poi con l'opposizione passare a -n ; questo altro procedimento porta a costruire mb sommando n volte b per arrivare a nb e poi passando all'opposto -nb |
| in entrambi i casi giungiamo a definire : (-n)b := - nb |
| l'espressione xb (nel nostro caso x=n o x=-n) è detta "prodotto di x per b" ; x è detto "moltiplicatore" o "coefficiente", mentre b è detto "moltiplicando" (ossia : cosa da moltiplicare) |
| "moltiplicazione" è invece l'operazione che porta dalla coppia (moltiplicatore , moltiplicando) al prodotto |
| Conclusione : moltiplicare un moltiplicatore per un moltiplicando significa determinare un prodotto ottenuto a partire dal moltiplicando con lo stesso processo con cui si costruisce il moltiplicatore a partire dall'unità usando addizione ed eventualmente opposizione |
moltiplicazione con coefficiente frazionario |
nella seguente clicca ripetutamene sul pulsante Step |
| 1/n è costruito partendo da 1 in modo che n volte 1/n dia 1, così (1/n)b è costruito da b in modo che n volte (1/n)b dia b, quindi (1/n)b è quel numero x tale che nx=b ( e tale x si indica con b/n ) |
-1/n è costruito partendo da 1 in modo che n volte -1/n dia -1 , così (-1/n)b è costruito da b in modo che n volte (-1/n)b dia -b , quindi (-1/n)b è quel numero x tale che nx=-b ( e tale x è (-b)/n = -b/n ) |
| notiamo che anche nei due precedenti punti si sono utilizzate solo l'addizione e l'opposizione (ossia la simmetria rispetto allo zero) |
| se m è un numero intero positivo, m/n è costruito a partire da 1 sommando m volte quel numero che sommato n volte dà 1, così (m/n)b è costruito da b sommando m volte quel numero che sommato n volte dà b, quindi (m/n)b = m(b/n) |
se m è un numero intero positivo, -m/n è costruito a partire da 1 sommando m volte quel numero che sommato n volte dà -1 , così (-m/n)b è costruito da b sommando m volte quel numero che sommato n volte dà -b, quindi (-m/n)b=m(-b/n)=-m(b/n)=-(m/n)b |
| anche negli ultimi casi sono usate solo addizione e opposizione |
nella seguente scegli prima g e poi usa il pulsante Step ( il valore di n è anche riportato nello stesso pulsante Step) |
per la moltiplicazione con coefficiente complesso vedi il post del 07/12/2003 |
la funzione esponenz...
la funzione esponenziale naturale ( vedi anche questo documento )
( avendo MathView o LiveMath è possibile scaricare il corrispondente
foglio di lavoro interattivo )
| Nella figura che si apre cliccando sul pulsante qui accanto è dato il grafico della legge di crescita composta |
|
| L'esempio tipico di tale crescita è la capitalizzazione composta. I parametri sono i seguenti: h è il tasso iniziale di crescita, f è la lunghezza del periodo di capitalizzazione. La variabile sull'asse delle ascisse è il tempo. Il capitale iniziale (x=0) è unitario. La formula di tale legge è : ( 1 + h f )x/f . | |
| Lasciando il tasso pari a 1 e facendo tendere f a 0 si ha la capitalizzazione continua al tasso 1 la cui legge è y=exp(x) e che vale e (numero di Nepero) per x=1. Muovi con il mouse il punto d verso l'asse verticale ( facendo così tendere f a 0 ) . | |
| g è il numero di periodi di capitalizzazione da considerare: posto f > 0 (come naturale), in ogni periodo è mostrato da un segmento orizzontale il valore del capitale congelato a inizio periodo; si ha così un'approssimazione a scala di un tratto del grafico della legge. | |
| In forma di potenza la funzione exp(x) coincide con ex . Il punto n è ( 1 , e ) . | |
la "geomet...
| la "geometry applet" | |
| scaricabile da questa pagina web | |
| muovi i punti colorati della seguente figura | il codice che genera questa applet è il seguente |
<applet codebase=" http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/Geometry/"code="Geometry" height="380" width="320" archive="Geometry.zip"> <param name="background" value="35,19,100"> <param name="title" value="I.47"> <param name="e[1]" value="B;point;free;100,200"> <param name="e[2]" value="C;point;free;230,200"> <param name="e[3]" value="O;point;midpoint;B,C;none;none"> <param name="e[4]" value="OABC;circle;radius;O,B;none;none;none;none"> <param name="e[5]" value="A;point;circleSlider;OABC,140,100"> <param name="e[6]" value="ABC;polygon;triangle;A,B,C;none;none;black;random"> <param name="e[7]" value="A2;polygon;square;C,B;none;none;black"> <param name="e[8]" value="B2;polygon;square;B,A;none;none;black"> <param name="e[9]" value="C2;polygon;square;A,C;none;none;black"> <param name="e[10]" value="G;point;vertex;B2,3"> <param name="e[11]" value="F;point;vertex;B2,4"> <param name="e[12]" value="K;point;vertex;C2,3"> <param name="e[13]" value="H;point;vertex;C2,4"> <param name="e[14]" value="D;point;vertex;A2,3"> <param name="e[15]" value="E;point;vertex;A2,4"> <param name="e[16]" value="AL;line;foot;A,D,E"> <param name="e[17]" value="L;point;last;AL"> <param name="e[18]" value="J;point;intersection;B,C,A,L;0;green"> <param name="pivot" value="J"> <param name="e[19]" value="AD;line;connect;A,D"> <param name="e[20]" value="CF;line;connect;C,F"> <param name="e[21]" value="BK;line;connect;B,K"> <param name="e[22]" value="AE;line;connect;A,E"> </applet> | |
Come si vede dal codice qui a destra, l'applet è gestita dal file geometry.zip e dai parametri, la cui scelta produce la figura direttamente dal codice html della pagina, a differenza di cabrijava, che richiede la presenza sul server non solo di un file di classi java, ma anche di una figura di cabri, diversa da caso a caso. Pertanto questo tipo di applet è più economico in termini di files che devono essere presenti sul web per le visualizzazioni geometriche e si avvicina a PGC (plane graphic calculator, ma anche "piano grafico complesso") per la sua filosofia di utilizzo, pur con impostazione geometrica di tipo diverso. | |
...
| funzioni elementari | |
| ( muovi il punto a nelle figure ) | |
| costanti | |
| proporzionalita' dirette | |
| proporzionalita' inverse | |
| potenze | |
| esponenziali | |
| sinusoidi | |
| cosinusoidi | |
| tangentoidi | |
a l c u ...
a l c u n i c o l l e g a m e n t i i n t e r e s s a n t i | |
| numeri razionali e algebra elementare | http://www.iprase.tn.it/servizi/poli/matematica/numeri_razionali.pdf |
| Excel | http://www.denicolaonline.it/corsionline/excel/excel.htm |
| derivate | http://www.denicolaonline.it/corsionline/teoder.htm http://members.xoom.virgilio.it/luckydb/derivate2000/teoria.html |
| dispense di matematica varia | http://www.elettronica.ingegneria.unige.it/Laurea_3_anni/Dispense/ http://www.robertobigoni.it/frames.htm http://www.dipmat.unipg.it/~candelor/didattica.htm |
| precorsi per l'università | http://www.dipmat.unipg.it/didattica/clmat/AA2003-04/dispense_precorsi.pdf |
| serie di Fourier e altro | http://mathsun1.univ.trieste.it/~tironi/Fouriercorr.pdf http://www.ateneonline.it/delcorso/link.asp http://digilander.libero.it/eric5/fourier.html ( vedi anche: http://digilander.libero.it/eric5/software.html ) |
traslazion...
| traslazioni , rotodilatazioni ... | |
| ... e loro traiettorie ( clicca sui pulsanti ) | |
| ( muovi b e z = a , c , d nelle figure ) | |
| traslazione di "vettore" b Tb : z --> Tb ( z ) := z + b | |
| rotodilatazione di "flettore" b Rb : z --> Rb ( z ) := z · b | |
l o g a ...
l o g a r i t m i : proprietà ( regole di calcolo ) fondamentali | |
Partiamo da: y = ax | |
y = expa ( x ) ( definizione di exp ) | x = loga ( y ) ( definizione di log ) |
y' = expa ( x' ) | x' = loga ( y' ) |
| y · y' = expa ( x ) · expa ( x' ) | x + x' = loga ( y ) + loga ( y' ) |
a x + x' = a x · a x' ( proprietà della somma degli esponenti ) | |
y · y' = ax · ax' = ax+x' = expa ( x + x' ) | => x + x' = loga ( y · y' ) |
| expa ( x + x' ) = expa ( x ) · expa ( x' ) | loga ( y ) + loga ( y' ) = loga ( y · y' ) |
(1) regola del logaritmo di un prodotto : loga ( y · y' ) = loga ( y ) + loga ( y' ) | |
a x x' = ( a x ) x' ( proprietà del prodotto degli esponenti ) | |
y = expa ( x ) | x = loga ( y ) |
yc = ( expa(x) )c = ( ax )c = ax·c = expa(x·c) | => x c = loga ( y c ) |
| expa ( x · c ) = ( expa (x) ) c | loga (y) · c = loga ( y c ) |
(2) regola del logaritmo di una potenza : loga ( y c ) = c · loga (y) | |
| c = -1 | b = y c ( => c = logy (b) ) |
| loga ( y -1 ) = (-1) · loga (y) | loga (y c) = loga (y) · c = loga (y) · logy (b) |
| loga ( 1 / y ) = - loga ( y ) | loga ( b ) = loga (y) · logy (b) |
loga( z / y )=loga(z · 1/y)=loga(z) - loga(y) | logy ( b ) = loga ( b ) / loga ( y ) |
| ^ regola del logaritmo di un quoziente | ^ regola del cambiamento di base |
classe 4^S
1) Sia f(x) = -1/x a) determinare la crescita di f nel passaggio della variabile indipendente da x a x+Dx , ossia Df(x) b) determinare la velocità di crescita di f nel passaggio della variabile indipendente da x a x+Dx c) determinare la velocità di crescita di f istantanea nel valore x della variabile indipendente |
2) Supponendo che una funzione f abbia la seguente proprietà: f( x + Dx ) - f( x ) = f( x' + Dx ) - f(x') per ogni scelta di x, x', Dx a) provare che: f(x+1) - f(x) = f(1) - f(0) per ogni scelta di x b) provare che: f(x + 1/4) - f(x) = f(1/4) - f(0) per ogni scelta di x c) provare che: 4(f(1/4)-f(0))=f(1)-f(0) e quindi f(1/4) - f(0) = (f(1) - f(0))/4 d) provare che: f(3/4)=f0)+(3/4)(f(1)-f(0)) . e) Qual è la espressione generale di f(m/n) se f(0)=3 e f(1)=5 ? f) Disegnare il grafico di f nel caso in cui si abbia f(0)=3 e f(1)=5 . |
3) Supponendo che una funzione f abbia la seguente proprietà: f( x + Dx )/f( x )=f(x'+ Dx)/f(x') per ogni scelta di x, x', Dx a) provare che: f(x+1)/f(x) = f(1)/f(0) per ogni scelta di x b) provare che: f(x+1/4)/f(x)=f(1/4)/f(0) per ogni scelta di x c) provare che: ( f(1/4) / f(0) )4 = f(1) / f(0) e quindi f(1/4) / f(0) = ( f(1) / f(0) )1/4 d) provare che: f ( 3/4 ) = f(0) ( f(1) / f(0) )3/4 . e) Qual è la espressione generale di f(m/n) se f(0)=2 e f(1)=4 ? f) Disegnare il grafico di f nel caso in cui si abbia f(0)=2 e f(1)=4. |
4) Considerando un capitale pari a 1000 euro e prendendo come unità di tempo l'anno, qual è l'espressione matematica che dà il valore del capitale a fine anno nel caso si applichi un tasso di interesse pari a 0.01 (ossia 1%) e si ricapitalizzi a ogni fine mese (quindi 12 volte) ? |
funzione i...
| funzione incrementale g associata a una funzione f e a un valore x dell'argomento ; operatore D |
| g è definita dalla formula g(p)=f(x+p)-f(x) ; in genere g(p) dipende da x oltre che dall'incremento p, ossia g(p) è funzione dell'incremento, ma la funzione g stessa varia al variare della scelta di x |
| nella seguente agendo su d si modifica x e agendo su c si modifica p; il punto g descrive il grafico della funzione incrementale di f con valore x dell'argomento; come si vede, la funzione g cambia al variare di x |
| Nell'espressione f(x+p)-f(x) sono presenti le due variabili x e p, entrambe variabili indipendenti e che variano indipendentemente l'una dall'altra; la variabile p è l'incremento della x (nel passaggio da x a x+p) e viene usualmente indicato con il simbolo Dx (in cui la lettera "delta" ricorda la lettera "d" di "differenza"); pertanto x e Dx sono entrambe variabili indipendenti. D è detto "operatore differenza" . |
| Dx, che è detta "variabile incrementale della variabile x", è indipendente dalla variabile x. |
| La espressione f(x) è una variabile dipendente dalla variabile x, mentre l'espressione f(x+Dx)-f(x) è una variabile dipendente dalle due variabili x e Dx. |
| dal momento che Dx è l'incremento della variabile dipendente f(x) nel passaggio della x al valore x+Dx , si pone: Df(x) = f(x+Dx)-f(x) |
| l'espressione Df(x) deve essere interpretata come D( f(x) ) , ossia il simbolo D agisce sull'espressione f(x) (contenente la sola variabile x) per produrre una nuova espressione contenente sia la variabile x sia la corrispondente variabile incrementale Dx (e per tale motivo Df(x) è detta "espressione incrementale nella variabile x" ). Ad esempio: D( x2 ) = (x + Dx)2 - x2 = 2xDx + (Dx)2 . |
| nell'espressione f(x) la f (da sola) indica la funzione, mentre l'espressione f(x) è detta "espressione funzionale nella variabile x" o anche "forma funzionale nella variabile x". Potremmo applicare la stessa funzione f ad un'altra variabile, ad esempio t, e ottenere l'espressione funzionale f(t) nella variabile t. Sarebbe bene distinguere sempre fra "funzione" ed "espressione funzionale" |
| l'operatore D può essere applicato anche al solo simbolo di funzione f per ottenere una nuova funzione Df , ponendo: (Df)(x)(p) = f(x+p)-f(x) ; ciò significa che ad ogni x la funzione Df associa non un numero, bensì la funzione incrementale g , associata alla f e al valore x dell'argomento di f, che abbiamo detto essere quella che associa a ogni p il valore f(x+p)-f(x) : quindi (Df)(x)=g (e fra l'altro da ciò viene esplicitata la dipendenza di g dallo x scelto). Pertanto (Df)(x) non è un numero, ma un'intera funzione. |
| possiamo riassumere quanto detto ai due punti precedenti con la seguente uguaglianza, che mette in relazione la funzione Df con l'espressione D(f(x)) : (Df)(x)( Dx ) = f(x+Dx)-f(x) = D( f(x) ) |
| ultima osservazione, questa volta di carattere geometrico: la funzione incrementale g = (Df)(x) , associata alla funzione f e al valore x dell'argomento, ha (v. la figura sopra) un grafico ottenuto per traslazione dal grafico della funzione f con la traslazione che porta il punto (x , f(x) ) nell'origine, il che equivale a considerare degli assi ausiliari centrati, invece che nell'origine, nel punto ( x , f(x) ) . |
Spesso gli studenti ...
Spesso gli studenti confondono la proporzionalità diretta con la proprietà di monotonicità (al crescere della variabile indipendente cresce la variabile dipendente) (non pensano ovviamente neanche per un attimo a rette con pendenza negativa). Per contro ( evviva la coerenza ! ) fanno diventare additiva (quindi lineare) praticamente ogni funzione che incontrano negli esercizi (monotòna o non), a cominciare dalla quadratica e dalla radice quadrata. La coerenza, forse, è nell'atteggiamento di "semplificazione a tutti i costi" (compreso - come detto - quello della assenza della "coerenza", già faticosa ricerca, attualmente sempre più diffusamente neanche gadget di distinzione);
per quanto riguarda l'errore sulla proporzionalità, si semplifica qualitativizzando un caso particolare di un enunciato quantitativo (raffazzonamento semantico, tipico della ripetizione mnemonica vagamente collegata a un'idea), mentre nella iper-linearizzazione (direi anzi pan-linearizzazione) si semplifica la formula (raffazzonamento sintattico, tipico dell'identificazione "simboli=gesso sprecato su lavagna", per la serie ... "visto che devo per forza scrivere una formula, buttiamo giù questa!", quindi ripetizione mnemonica per nulla collegata a un'idea).
L'incoerenza: ecco il perché (e si tratta di un "perché" di causa ma anche di comodo fine di manipolabilità sociale) la "matematica" è diventata nella considerazione usuale una malattia del sangue: la ... "mattia ematica".
(in effetti l'insegnante che vuole cercare effettivamente di formare e non solo "informare formalmente" è soggetto a periodi di donchisciottiana (nonché normalissima per qualunque situazione di sforzo e studio non obliterata da delphinizzazioni) "circolazione sanguigna non ottimale", per i quali i più avanzati e labellotropi ("label oriented") manuali italiani di didattica avranno immancabilmente stanato lo ... IETI ( Interchangeable English Terminological Item ) accademicamente e onomatologicamente appropriato)
Una osse...
Una osservazione aggiuntiva sulle funzioni a incrementi proporzionali |
| Dalla proprietà di f(x+p) - f(x) = g(p) di esser costante rispetto alla x ricaviamo una importante proprietà per la funzione degli incrementi g : g(p+p')=f(p+p')-f(0)=f(p+p')-f(p)+f(p)-f(0)=g(p')+g(p)=g(p)+g(p') ossia: la funzione g è "additiva", cioè porta somme in somme. Ciò comporta che g(nx)=ng(x), per ogni n intero positivo, il che a sua volta comporta che: k = g(1)
Una funzione definita sui razionali e additiva è detta anche "funzione lineare di variabile razionale". La funzione g degli incrementi di una funzione f a incrementi proporzionali è un esempio di tale tipo di funzione . *** L'usuale definizione di proporzionalità diretta definisce come tale una funzione g tale che : Tale proprietà comporta, se g è definita su tutti i razionali positivi, che si abbia: pertanto si ha: g(m/n) = m g(1) / n = g(1) m/n Quindi una g definita sui razionali positivi con la proprietà data all'inizio di "estraibilità del coefficiente" (e questa è in effetti la proprietà di "linearità") deve avere equazione : g(x) = g(1) x L'estensione di tale formula anche ai razionali non positivi (quindi allo zero e ai razionali negativi) conduce al tipo di funzione di cui sopra si è trattato. |
il "decalogo" ...
| il "decalogo" della moltiplicazione fra numeri complessi |
| Puoi muovere col mouse i numeri complessi a e b. Il prodotto a*b è f . |
| il piano nelle figure può essere traslato col mouse tenendo premuto il tasto CONTROL (Ctrl) |
1) prendiamo in esame l'esempio: 3*b = (1+1+1)*b = b+b+b (ad ogni 1 si sostituisce b) |
| 2) sappiamo che l'ortogonale (antiorario) di z=x+yi è ort(z)=-y+xi, in particolare ort(1) = i |
| 3) procediamo come in 1) con: (3+2i)*b=(1+1+1+ort(1)+ort(1))*b=b+b+b+ort(b)+ort(b) |
| 4) si "induce" la definizione: a*b = (p+qi)*b = p b + q ort(b) = Re(a) b + Im(a) ort(b) |
| 5) se b = x+yi , si ha: a*b = (p+qi)*(x+yi) = p(x+yi) + q(-y+xi) = (px-qy) + (py+qx)i |
| 6) graficamente, moltiplicare a per b significa "rotodilatare" a così come 1 si "rotodilata" in b |
| 7) la "dilatazione" può essere anche "contrazione", a seconda di quanto b "dista" da 0 |
| 8) conj(b)=Re(b)-Im(b)i è il "coniugato" di b ossia il simmetrico di b rispetto all'asse reale |
| 9) b "dista" da 0 quanto 1 da 0 quando la stessa rotodilatazione porta 1 in b e conj(b) in 1 |
| 10) per visualizzare 9) porta a in conj(b); in tal caso, se b dista 1 da 0, f=a*b=conj(b)*b=1 |
| per comodità si è posto a=conj(b), quindi b dista 1 da 0 quando f=conj(b)*b=1 |
Rotazioni into...
| Rotazioni intorno all'origine 0 (angoli) : muovi c per scegliere l'angolo |
| una rotazione a intorno all'origine (angolo) porta 1 in a(1)=(a,b)=f |
| proprietà 1) a( i ) = a( 0 , 1 ) = ( -b , a ) = g (ortogonalità) |
proprietà 2) a( d ) = a( x , y ) = a( x 1 + y i ) = x f + y g = n (conservazione delle coordinate) |
| proprietà 3) a( h ) = a( a , -b ) = 1 (rigidità) |
| (x', y') = a(x,y) = x a(1) + y a(i) = x(a,b) + y(-b,a) = ( xa-yb , xb+ya ) (rotazione) | |
| ( 1 , 0 ) = a( a , -b ) = ( a2 + b2 , 0 ) , quindi a2 + b2 = 1 (relazione pitagorica) | |
cos a := a (definizione di coseno) | sin a := b (definizione di seno) |
G := C1 := { (a,b) : a2 + b2 = 1 } (circonferenza goniometrica) | |
| c = ( p , q ) = t f , f Î G , t ³ 0 Þ t = | c | := Ö( p2 + q2 ) (modulo) | |
| ( 1 , m ) = | ( 1 , m ) | a(1) Þ cos a ¹ 0 , m = tg a := sin a / cos a (tangente) | |
| Se durante il navigare in questo o in altri siti appare una finestra che propone o esige il tuo assenso o una conferma ad una installazione di programma o esorta a dire "sì" o dare "ok" a qualche azione o qualche "perfezione", consiglio è di chiuderla con l' x posta sulla monella in alto a destra o - se tale facoltà non l'han lasciata - beccando la finestra incriminata con clic sulla sua barra superiore e poi schiacciando insieme ALT-F4. Di questo la cagione dove sta? Risponne er cinesino pe' cita' : " Alma a commelcio è pubblicità , mentle suo còlpo è fatto . . . pe' flega' " |
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