associatività dell'addizione  

proporzioni

In figura vediamo una quaterna di elementi in proporzione:  m : a = n : b Il rapporto fra  m  e  a   e quello fra  n  e  b  è dato da  d.

Se il punto  d  esce dall'asse delle ascisse, anche  m  e  n  escono dagli assi 0a  e  0b. Precisamente, si ha m = dxa + dya┴   e   n = dxb + dyb┴ Il rapporto fra  m  e  a   e quello fra  n  e  b  è dato da  d = ( dx , dy ).

In tal modo si estende la proporzionalità al caso in cui i 4 punti sono disposti secondo rapporti che non sono sull'asse delle ascisse, ma nel piano. Ad esempio, si ha  m : a = n : b  se m=2a e n=2b, oppure se  m=3.2a e n=3.2b, ma anche se  m=2a+3a┴  e n=2b+3b┴  o se  m=3.2a-1.3a┴  e n=3.2b-1.3b┴.

     La formula di Eulero   

 

insiemi e operatori logici

insiemi e algebra di Boole

insiemi, funzioni e trasformazioni

vettori

   linguaggi e grammatiche  

vedi anche :

notazione BNF

grammatiche standard e HTML

sintassi e Javascript

BNF e ... italiano

ancora su BNF e italiano

BNF in BNF   (in inglese)

4 passi in Javascript

Punti e numeri (dall'esperienza geometrica all'aritmetica e all'algebra)

cambiamento di base (sistema di riferimento), omotetie e moltiplicazione di punti del piano (moltiplicazione di numeri complessi)

Ogni punto  p  della stella verde, che ha coordinate (x,y)  rispetto alla base  1  e  i=ort(1), ha un corrispondente  p'  nella stella viola con le stesse coordinate (x,y) ma rispetto alla base  a  e  n=ort(a); puoi muovere  a   per cambiare la base ( a , n )  e il centro  d  per cambiare la posizione della stella verde; inoltre puoi muovere  b=f  (inizialmente pari a 1)   e vedere come varia   g = ba ( le coordinate che  b  ha rispetto a  1   le ha   ba   rispetto ad  a ). Prova a portare il punto  b  sulla stella verde e nota come g = ba   sta nel corrispondente punto dell'altra stella.

triangoli omotetici

Nella figura di sopra puoi spostare con il mouse i vertici del triangolo  bcd  e scegliere (sempre con il mouse) il punto  a  che produce l'omotetia, e quindi il triangolo omotetico di vertici ba, ca, da. Inoltre, tramite pressioni sulla la barra spaziatrice della tastiera (ricorda di selezionare prima la figura con un clic sopra di essa), si fa variare il punto  h  sul triangolo bcd e in corrispondenza il punto k=ha percorre il triangolo omotetico.

 

numeri unitari

Nella figura vedi un punto  a  (mobile col mouse) e il suo coniugato k=conj(a). Il triangolo di vertici   0, ax , a (quello con due lati blu) può essere sottoposto a cambiamento di scala: muovendo il punto c lo vedi in azzurro e in scala c, ossia il triangolo azzurro ha vertici  0·c=0,  ax·c, a·c. Quando c=k il triangolo è realizzato in scala k ed è quello con due lati rossi, con vertici  0, ax·k, a·k. Come puoi notare, il vertice a·k sta sempre sul semiasse destro delle ascisse. Puoi anche osservare, muovendo a col mouse, come i triangoli blu e rosso hanno in genere fra di loro differenti dimensioni, pur restando sempre di uguale forma (ossia simili). Infatti quello rosso è realizzato sostituendo la scala dell'unità con quella di k. Essi assumono le stesse dimensioni quando il lato congiungente  0 con k assume le stesse dimensioni del segmento congiungente 0 con 1; e in tal caso anche a (che ha k come coniugato) dista 1 da 0. In una qualunque di tali configurazioni (che puoi più facilmente realizzare portando d al di sopra dell'asse delle ascisse e poi portando a sulla circonferenza verde che appare) si ha che i lati  0_k, 0_a·k, 0_a  hanno tutti uguale dimensione, pari a 1 e in particolare a·k, che è sul semiasse destro dell'asse orizzontale, coincide proprio con 1. Quindi l'uguale dimensione dei triangoli blu e rosso si realizza quando a·k=1, ossia quando (ax,ay)(ax,-ay)=1, ossia  ax2 + ay2 = 1. I numeri a aventi tale proprietà sono detti unitari e il loro insieme (la circonferenza verde) è detto circonferenza unitaria (o goniometrica).

Brevemente possiamo dare la seguente definizione:   " un numero  a  è detto  unitario  se valutato nella scala del proprio coniugato vale 1, ossia se   a · conj(a) = 1 ". Una definizione alternativa potrebbe essere la seguente altra:   " un numero  a  è detto  unitario  se rispetto ad esso (ossia in scala  a) il suo coniugato vale 1, ossia se   conj(a) · a = 1 ". Ciò corrisponde a partire dal triangolo rosso invece che da quello blu, il che è realizzato nella seguente

 

Le otto isometrie piane fondamentali

A seconda della posizione del punto commutatore c,   la trasformazione che porta  f=a  in  g  è : l'identità (o rotazione nulla):  ( ax , ay )  ->  ( ax , ay ) la anti-coniugazione (o simmetria rispetto all'asse delle ordinate):                                           ( ax , ay )  ->  ( - ax , ay ) la opposizione (o rotazione di un semipiano): ( ax , ay )  ->  ( - ax , - ay ) la coniugazione (o simmetria rispetto all'asse delle ascisse):                                           ( ax , ay )  ->  ( ax , - ay )

A seconda della posizione del punto commutatore c,    la trasformazione che porta  f=a  in  h  è : l'inversione (o simmetria rispetto alla bisettrice di 1° e 3° quadrante):                                           ( ax , ay )  ->  ( ay , ax ) la ortogonalità antioraria (o rotazione antioraria di un quadrante):                                           ( ax , ay )  ->  ( - ay , ax ) la anti-inversione (o simmetria rispetto alla bisettrice di 2° e  4° quadrante):                          ( ax , ay )  ->  ( - ay , - ax ) la ortogonalità oraria (o rotazione oraria di un quadrante, o anche rotazione antioraria di tre quadranti):  ( ax , ay )  ->  ( ay , - ax )

Notiamo come si ottengono quattro simmetrie assiali e quattro rotazioni.  Queste otto trasformazioni non modificano la distanza dall'origine (porta  il punto  d  sopra l'asse delle ascisse)  e perciò vengono dette  isometrie .     Vedi anche  le isometrie e il caleidoscopio  e  http://w3.romascuola.net/gspes/pgc/8_isometrie.html