Programma di matematica e di informatica

2° livello - 2005/2006

matematica

Notazioni insiemistiche per elencazione o per proprietà caratteristica degli elementi. Simboli di appartenenza e non appartenenza. Richiami sul calcolo negli insiemi N (numeri naturali = numeri interi non negativi), Z (numeri interi relativi) e Q (numeri razionali). Interpretazione geometrica delle operazioni di addizione e moltiplicazione. Introduzione di una unità immaginaria e rappresentazione di punti come numeri complessi. Regola del parallelogramma.           Trasformazioni isometriche di base nel piano cartesiano. Le due simmetrie assiali coordinate nel piano cartesiano:      P=(x,y)  ->  P-=(x,-y)   (coniugazione)      P=(x,y)  ->  -P-=(-x,y)  (coniugazione opposta). L’identità:     P=(x,y)  ->  P=(x,y)    e la simmetria  centrale:      P=(x,y)  ->    -P=(-x,-y)  (opposizione). Le simmetrie rispetto alle bisettrici principale e secondaria:     P=(x,y)  ->  (y,x)     (inversione delle coordinate)     P=(x,y)  ->  (-y,-x)   (inversione delle coordinate e opposizione). Le rotazioni ortogonali fondamentali:     P = (x,y)   ->   P^ = (-y,x)  (antioraria)      P = (x,y)   ->  -P^=(y,-x)    (oraria). Grafici di funzioni del tipo y=mx (proporzionalità dirette, rette passanti per l’origine). Grafici di funzioni del tipo y=mx+n (rette). Significato geometrico dei parametri m e n. Equazioni di primo grado di tipo mx+n=0. Disequazioni di 1° grado e loro interpretazione geometrica nel piano cartesiano. La funzione quadratica y=x2. Effetto dell’introduzione del parametro  m  nelle funzioni quadratiche y=mx2. Traslazione verticale del grafico di  y=mx2 ed equazioni del tipo y=mx2+n. Traslazione orizzontale del grafico di  y=mx2 ed equazioni del tipo y=m(x-k)2, con discussione del segno di k nel suo rapporto col tipo di traslazione orizzontale. Combinazione di traslazione orizzontale e di traslazione verticale e parabole di equazione del tipo y=m(x-k)2 + n . Definizione del vertice della parabola di equazione y=m(x-k)2+n come punto V=(k,n). Riduzione della generica funzione y= ax2+bx+c alla forma y=m(x-k)2+n . Deduzione delle relazioni (equazioni del vertice della parabola):                                    k=-b/2a ,   n= c - b2/4a .    Intersezioni della parabola con l’asse delle ascisse. Risoluzione dell’equazione di secondo grado a x 2 + b x + c = 0, scrivendola nella forma m(x - k)2 + n = 0. Formula risolutiva generale dell’equazione a x 2 + b x + c = 0.

informatica

Diagrammi di processo (o funzionali, o anche di input/output) e loro uso nel rappresentare espressioni formali e processi. Diagrammi ad albero (o gerarchici). Radice, nodi e foglie di un diagramma ad albero. Uso dei diagrammi ad albero per rappresentare frasi, espressioni matematiche e codice HTML. Traduzione di un albero in testo indentato. I tag come marcatori del linguaggio HTML; esempi di tag: HTML, HEAD, TITLE, SCRIPT, BODY, DIV, IMG, IFRAME, P, CENTER, FONT, BR, INPUT (realizzazione di caselle di testo e pulsanti). Attributi di tag e loro valori; esempi di attributi: name, value, src, color, size, type, onclick, onblur, onkeyup; determinazione dei contenuti di caselle tramite il valore dell’attributo  name  usato come oggetto javascript. Assegnamento ( = ) e uguaglianza ( = = ). Uso dell’identificatore  function  all’interno del tag SCRIPT. Realizzazione di semplici pagine web contenenti una casella di input, un pulsante attivante un processo e una casella di output (ossia di un elementare diagramma di processo, ad esempio il calcolo del quadrato, del cubo, di alcune radici). Diagrammi di flusso (o anche diagrammi a blocchi, o anche flow-charts) come rappresentazione di algoritmi. Simboli per i tipi fondamentali di blocco. Distinzione fra algoritmo e programma. L’algoritmo per la determinazione del minimo fra due numeri dati in input. Un algoritmo per l’inversione di una stringa. L’inversione di una stringa realizzata in una pagina web con una casella di input (per contenere la stringa da invertire) e una di output (per contenere la stringa invertita).

Programma di matematica

3° livello - 2005/2006

Vettori nel piano e operazioni di addizione di vettori (regola del parallelogramma) e di moltiplicazione di un numero reale per un vettore. Generazione del piano cartesiano a partire da tre punti non allineati  0, 1, i  tramite le operazioni di addizione e moltiplicazione a coefficienti reali.  Disposizione ortonormale antioraria della terna 0, 1,  i. L’ambiente additivo dei numeri complessi. Le otto isometrie di base: l’identità, l’opposizione, la coniugazione, la coniugazione opposta, le ortogonalità antioraria ed oraria, le simmetrie assiali rispetto alle due bisettrici dei quadranti del piano cartesiano. Equazione parametrica di una retta passante per l’origine. Funzioni lineari (rette passanti per l’origine, o anche proporzionalità dirette). Traslazioni e rette non passanti per l’origine. Equazione di una retta in forma vettoriale e in forma di componenti scalari. Equazioni delle rette in forma cartesiana esplicita (o funzionale). Rette perpendicolari.   Moltiplicazione di due numeri complessi introdotta con l’uso dell’ortogonale del moltiplicando:                    a b = ( ax  + ay i) b = ( ax 1 + ay 1┴ ) b = ax b + ay b┴ . Espressione algebrica del prodotto. Concetto di omotetia o rotodilatazione. Concetto di rotazione intorno all’origine (angolo orientato): numeri complessi unitari e loro proprietà pitagorica, circonferenza unitaria, rotazione intorno all’origine come moltiplicazione per un numero unitario. Circonferenza goniometrica e archi. Misura in radianti di un angolo. Il numero  π . Misura in gradi sessagesimali. Funzioni seno e coseno e formule di addizione. Modulo di un numero complesso e teorema di Pitagora. Distanza fra due numeri complessi. Ciclotomia. Seno e coseno di angoli notevoli.

Programma di matematica

4° livello - 2005/2006

Insiemi e relazioni. Univocità e funzioni. Iniettività e invertibilità di una funzione. Funzioni del tipo x n . Funzioni pari e funzioni dispari. Simmetrie interne dei grafici di funzioni. Simmetrie fra grafici di funzioni, in particolare fra funzioni inverse.   Intervalli nell’insieme dei numeri reali: chiusi, aperti, semichiusi (o semiaperti), limitati o illimitati.   Restrizione di una funzione per ottenere l’iniettività. La parabola e la radice quadrata. Le funzioni arcsin, arccos e arctg.   Composizione di funzioni e inversione di una funzione composta.   Introduzione di esponenti non naturali nelle potenze. Le funzioni potenza   x -> xa e le funzioni esponenziali x -> ax .   Proprietà delle funzioni esponenziali, partendo dalla proprietà di morfismo additivo-moltiplicativo (ossia: alla somma degli argomenti corrisponde il prodotto dei valori).   Simmetria fra i grafici di   ax   e  (1/a)x . Andamento di una funzione esponenziale ax al variare del parametro a>0 .   Determinazione di una funzione esponenziale a partire da una retta passante per (0,1) cui essa deve essere tangente. La funzione esponenziale naturale e il numero  e  di Nepero.   Inversione della funzione esponenziale in base a: il logaritmo in base a; suo grafico e sue proprietà formali. Cenno all’esponenziale naturale complessa e alla formula di Eulero.