...

 

 

funzioni elementari
( muovi il punto  a   nelle figure )
costanti
proporzionalita' dirette
proporzionalita' inverse
potenze
esponenziali
sinusoidi
cosinusoidi
tangentoidi

 

a l c u ...

a l c u n i     c o l l e g a m e n t i     i n t e r e s s a n t i
numeri razionali  e algebra elementare	http://www.iprase.tn.it/servizi/poli/matematica/numeri_razionali.pdf http://www.iprase.tn.it/servizi/poli/matematica/algebra.pdf
Excel	http://www.denicolaonline.it/corsionline/excel/excel.htm
derivate	http://www.denicolaonline.it/corsionline/teoder.htm http://members.xoom.virgilio.it/luckydb/derivate2000/teoria.html
dispense di matematica varia	http://www.elettronica.ingegneria.unige.it/Laurea_3_anni/Dispense/ http://www.robertobigoni.it/frames.htm http://www.dipmat.unipg.it/~candelor/didattica.htm http://www.denicolaonline.it/corsionline/homepag2.htm
precorsi per l'università	http://www.dipmat.unipg.it/didattica/clmat/AA2003-04/dispense_precorsi.pdf http://www.mfn.unipmn.it/~pferrari/Precorso/Precorso0.htm
serie di Fourier e altro	http://mathsun1.univ.trieste.it/~tironi/Fouriercorr.pdf http://www.ateneonline.it/delcorso/link.asp http://digilander.libero.it/eric5/fourier.html ( vedi anche:    http://digilander.libero.it/eric5/software.html   ) http://www.jhu.edu/~signals/ http://www.electroportal.net/

funzione i...

funzione incrementale  g   associata a una funzione  f  e a un valore  x  dell'argomento ;  operatore   D

g  è definita dalla formula   g(p)=f(x+p)-f(x) ;   in genere g(p) dipende da x oltre che dall'incremento p, ossia g(p) è funzione dell'incremento, ma la funzione g stessa varia al variare della scelta di x

nella seguente  Error: Cannot run the Java applet.   agendo su d si modifica x e agendo su c si modifica p; il punto g descrive il grafico della funzione incrementale di  f  con valore  x   dell'argomento; come si vede, la funzione g cambia al variare di x

Nell'espressione  f(x+p)-f(x)   sono presenti le due variabili  x  e  p, entrambe variabili indipendenti e che variano indipendentemente l'una dall'altra; la variabile p è l'incremento della x (nel passaggio da x a x+p) e viene usualmente indicato con il simbolo Dx (in cui la lettera "delta" ricorda la lettera "d" di "differenza"); pertanto  x  e  Dx sono entrambe variabili indipendenti.   D  è detto "operatore differenza" .

Dx, che è detta "variabile incrementale della variabile x", è indipendente dalla variabile x.

La espressione f(x) è una variabile dipendente dalla  variabile x, mentre l'espressione  f(x+Dx)-f(x)  è una variabile dipendente dalle due variabili x e Dx.

dal momento che Dx  è l'incremento della variabile dipendente f(x) nel passaggio della x al valore x+Dx , si pone:    Df(x) = f(x+Dx)-f(x)

l'espressione Df(x) deve essere interpretata come  D( f(x) ) ,  ossia il simbolo  D  agisce sull'espressione  f(x)  (contenente la sola variabile x) per produrre una nuova espressione contenente sia la variabile x sia la corrispondente variabile incrementale Dx  (e per tale motivo  Df(x) è detta  "espressione incrementale nella variabile x" ).  Ad esempio:            D( x2 ) = (x + Dx)2 - x2 = 2xDx + (Dx)2 .

nell'espressione  f(x) la f (da sola) indica la funzione, mentre l'espressione f(x) è detta "espressione funzionale nella variabile x" o anche "forma funzionale nella variabile x". Potremmo applicare la stessa funzione f ad un'altra variabile, ad esempio t, e ottenere l'espressione funzionale f(t) nella variabile t. Sarebbe bene distinguere sempre fra "funzione" ed "espressione funzionale"

l'operatore  D  può essere applicato anche al solo simbolo di funzione f per ottenere una nuova funzione  Df , ponendo:  (Df)(x)(p) = f(x+p)-f(x) ; ciò significa che ad ogni x  la funzione  Df associa non un numero, bensì la funzione incrementale  g ,  associata alla f e al  valore x dell'argomento di f,  che abbiamo detto essere quella che associa a ogni p il valore  f(x+p)-f(x) :  quindi  (Df)(x)=g (e fra l'altro da ciò viene esplicitata la dipendenza di g dallo x scelto). Pertanto  (Df)(x) non è un numero, ma un'intera funzione.

possiamo riassumere quanto detto ai due punti precedenti con la seguente uguaglianza, che mette in relazione la funzione  Df con l'espressione D(f(x)) :  (Df)(x)( Dx ) = f(x+Dx)-f(x) =  D( f(x) )

ultima osservazione, questa volta di carattere geometrico: la funzione incrementale  g = (Df)(x) , associata alla funzione f e al valore x dell'argomento, ha  (v. la figura sopra)  un  grafico ottenuto per traslazione dal grafico della funzione f con la traslazione che porta il punto (x , f(x) ) nell'origine, il che equivale a considerare degli assi ausiliari centrati, invece che nell'origine, nel punto ( x , f(x) ) .

Spesso gli studenti ...

Spesso gli studenti confondono la proporzionalità diretta con la proprietà di monotonicità (al crescere della variabile indipendente cresce la variabile dipendente) (non pensano ovviamente neanche per un attimo a rette con pendenza negativa). Per contro ( evviva la coerenza ! ) fanno diventare additiva (quindi lineare) praticamente ogni funzione che incontrano negli esercizi (monotòna o non), a cominciare dalla quadratica e dalla radice quadrata. La coerenza, forse, è nell'atteggiamento di "semplificazione a tutti i costi" (compreso - come detto - quello della assenza della "coerenza", già faticosa ricerca, attualmente sempre più diffusamente neanche gadget di distinzione);

per quanto riguarda l'errore sulla proporzionalità, si semplifica qualitativizzando un caso particolare di un enunciato quantitativo (raffazzonamento semantico, tipico della ripetizione mnemonica vagamente collegata a un'idea), mentre nella iper-linearizzazione (direi anzi pan-linearizzazione) si semplifica la formula (raffazzonamento sintattico, tipico dell'identificazione "simboli=gesso sprecato su lavagna", per la serie ... "visto che devo per forza scrivere una formula, buttiamo giù questa!", quindi ripetizione mnemonica per nulla collegata a un'idea).

L'incoerenza: ecco il perché (e si tratta di un "perché" di causa ma anche di comodo fine di manipolabilità sociale) la "matematica" è diventata nella considerazione usuale una malattia del sangue: la ... "mattia ematica".
(in effetti l'insegnante che vuole cercare effettivamente di formare e non solo "informare formalmente" è soggetto a periodi di donchisciottiana (nonché normalissima per qualunque situazione di sforzo e studio non obliterata da delphinizzazioni) "circolazione sanguigna non ottimale", per i quali i più avanzati e labellotropi ("label oriented") manuali italiani di didattica avranno immancabilmente stanato lo ... IETI ( Interchangeable English Terminological Item ) accademicamente e onomatologicamente appropriato)

Una osse...

Una osservazione aggiuntiva sulle funzioni a incrementi proporzionali

Dalla proprietà di f(x+p) - f(x) = g(p) di esser costante rispetto alla x ricaviamo una importante proprietà per la funzione degli incrementi g : g(p+p')=f(p+p')-f(0)=f(p+p')-f(p)+f(p)-f(0)=g(p')+g(p)=g(p)+g(p') ossia: la funzione g è "additiva", cioè porta somme in somme. Ciò comporta che g(nx)=ng(x), per ogni n intero positivo, il che a sua volta comporta che: g(1) = g(n 1/n) = n g(1/n) ossia che: g(1/n) = g(1) / n Pertanto: g(m/n) = m g(1/n) = m ( g(1) / n ) = g(1) m/n per ogni numero razionale positivo m/n ( ossia g(x) = g(1) x per ogni x razionale positivo ) Inoltre, dalla uguaglianza g(p)=g(p+0)=g(p)+g(0) ricaviamo: g(0) = 0 (quindi vale g(x)=g(1)x anche con x=0) E quindi dalla uguaglianza: 0 = g(0) = g(p+(-p)) = g(p) + g(-p) ricaviamo: g(-p) = - g(p) Pertanto la precedente formula g(x)=g(1)x vale anche con -x al posto di x, ossia per i numeri razionali negativi. In conclusione: se g è definita sui razionali ed è additiva, si ha che g(x)=kx , con k = g(1) ossia g è una proporzionalità diretta con coefficiente di proporzionalità g(1). Una funzione definita sui razionali e additiva è detta anche "funzione lineare di variabile razionale". La funzione g degli incrementi di una funzione f a incrementi proporzionali è un esempio di tale tipo di funzione . *** L'usuale definizione di proporzionalità diretta definisce come tale una funzione g tale che : g(nx) = n g(x) (con n=2,3,4,... , ma ovviamente anche per n=1). Tale proprietà comporta, se g è definita su tutti i razionali positivi, che si abbia: g(1) = g(n 1/n) = n g(1/n) ossia: g(1/n) = g(1) / n pertanto si ha: g(m/n) = m g(1) / n = g(1) m/n per tutti i razionali positivi m/n. Quindi una g definita sui razionali positivi con la proprietà data all'inizio di "estraibilità del coefficiente" (e questa è in effetti la proprietà di "linearità") deve avere equazione : g(x) = g(1) x L'estensione di tale formula anche ai razionali non positivi (quindi allo zero e ai razionali negativi) conduce al tipo di funzione di cui sopra si è trattato. Pertanto quella che qui è chiamata "proporzionalità diretta" (in base alla proprietà di additività) non è altro che l'estensione a tutto il dominio razionale di un'usuale proporzionalità diretta definita solo sui razionali positivi.

Una nota sulla impag...

Una nota sulla impaginazione:

la disposizione del testo dipende da come è impostata nel browser la grandezza del carattere e perfino dalla grandezza che si sceglie per la finestra di visualizzazione, pertanto bisogna fare attenzione che il fine rigo è variabile.

Ecco perché a volte le formule vengono mozzate. Bisogna sempre tener presente, per una corretta interpretazione delle formule, che c'è una continuità fra ogni rigo e il successivo.

Funzioni a...

Funzioni a rapporti esponenziali ; elevamento a potenza con esponenti razionali

Sia f una funzione definita su tutti i numeri razionali e siano h e k due di tali numeri

si dice "incremento per rapporto" (o semplicemente "rapporto") della variabile dipendente y=f(x) da x = h a x = k il quoziente f(k)/f(h) , mentre k-h è detto incremento (o "differenza", o ancora "incremento per differenza") della variabile indipendente x nel passaggio da x=h a x=k

la funzione f è detta "a rapporti esponenziali" se a incrementi uguali della variabile indipendente corrispondono rapporti uguali della variabile dipendente, ossia se il rapporto della variabile dipendente è lo stesso in corrispondenza di due incrementi uguali della variabile indipendente. Supponiamo f(x)¹0, per ogni valore di x, in modo da poter usare f(x) al denominatore .

in formula : f(x+p) / f(x) = f(x'+p) / f(x') , per ogni scelta di x , x' , p ; gli incrementi della variabile indipendente da x a x+p e da x' a x'+p sono uguali a p ; un modo alternativo di esprimere questa formula è l'affermazione che l'espressione f(x+p) / f(x) dipende da p e non da x ossia scrivere l'uguaglianza : f(x+p) / f(x) = g(p) , dove g(p) è una funzione della variabile "incrementale" p (la funzione g è detta "funzione dei rapporti" ricavata da f con valore iniziale x dato alla variabile indipendente, oppure semplicemente " funzione rapporto di f in x " ). Una prima conseguenza è che f(x)/f(x/2)=f(x/2)/f(0), ossia f(x)f(0)=( f(x/2) )2 , per cui f(x)f(0)>0, ossia f(x) mantiene sempre lo stesso segno di f(0).   Una seconda conseguenza riguarda la funzione g :     g(p+p') = f(p+p')/f(0) = (f(p+p')/f(p))(f(p)/f(0)) = g(p')g(p) = g(p)g(p'), cioè la funzione g porta somme in prodotti.

proveremo che per ogni numero intero positivo x si ha: f(x) = b a x , con a = f(1) / f(0) e b = f(0); inoltre estenderemo la definizione di potenza al caso di esponente razionale qualunque proprio in modo cha tale formula valga per ogni x razionale (ossia della forma m/n con m intero ed n intero positivo)

agli incrementi di 1 sulle ascisse corrisponde sempre lo stesso rapporto r sulle ordinate; in formule : f(1) / f(0) = r = a (ricordiamo che abbiamo posto a=f(1)/f(0) ) , f(2) / f(1) = r , ... , f(m) / f(m-1) = r , ecc ... ; quindi: f(1) = f(0)a = ba ( ricordando che abbiamo posto b=f(0) ) , f(2) = f(1)r = f(1)a = ba2 , ... , f(m) = f(m-1)r = f(m-1)a = b am-1 a = b am , ecc... ; quindi per ogni x intero positivo vale l'uguaglianza f(x) = b a x ; essa vale anche per x = 0 , purché si definisca a 0 in modo che valga l'uguaglianza f(0) = b a 0, ossia in modo che b = b a 0 , ovvero a 0 = 1 .

dividiamo l'intervallo di base fra x = 0 e x = 1 in n parti uguali, realizzando n incrementi ognuno di 1/n a partire da x = 0, cui corrispondono altrettanti rapporti della variabile dipendente tutti uguali fra di loro (clicca sulla figura qui sotto e poi premi la barra spaziatrice tante volte fino a quando non hai ottenuto il valore desiderato di n (che all'inizio è pari a 1); per tornare allo stato iniziale digita la lettera c ( = "clear"), inoltre per spostare la figura usa il tasto destro del mouse ; agendo sui punti a = f(1) / f(0) e b = f(0) si modifica la funzione f ; muovendo d in orizzontale (oppure agendo sulle frecce di spostamento laterale dalla tastiera) si sposta il punto iniziale h dell'incremento p = k-h = 1/n ). Infine coi tasti + e - si agisce sulla scala della intera figura.

agli incrementi di 1/n sulle ascisse corrisponde sempre lo stesso rapporto s sulle ordinate

in formule : f(1/n) / f(0) = s , f(2/n) / f(1/n) = s , ... , f(1) / f(1-1/n) = s , ... , f(m/n) / f(m/n - 1/n) = s , ...

moltiplicando membro a membro le prime n (corrispondenti alla suddivisione in figura) di tali uguaglianze, e semplificando i termini inversi presenti nel primo di tali prodotti otteniamo: f(1)/f(0) = sn , ossia a=sn (ricordiamo che abbiamo posto a=f(1)/f(0) ) ; siccome f(x)f(0)>0 per ogni x, si ha a = f(1)/f(0)>0 e s=f(1/n)/f(0)>0. Pertanto s è la radice positiva di indice n del numero positivo a.

dalle precedenti uguaglianze, usando dalla seconda in poi l'uguaglianza immediatamente precedente e ricordando che abbiamo posto b=f(0), otteniamo: f(1/n) = f(0)s = bs , f(2/n) = f(1/n)s = bss = bs2 , ... , f(1) = f(1-1/n)s = bsn , ... , f(m/n) = f( (m-1)/n )s = b sm-1 s = b sm . Se definiamo am/n = sm , ossia la potenza di esponente m della radice positiva di indice n di a (con m numero intero positivo), possiamo scrivere l'uguaglianza per ogni x=m/n :    f(x) = f(m/n) = b sm = b am/n = b ax . Come abbiamo visto questa uguaglianza vale anche per x=0, quindi l'abbiamo provata per ogni valore di x razionale non negativo. Notiamo che da tale formula segue che f(x) ha sempre lo stesso segno di b, in quanto ax >0

se -x è il numero razionale negativo opposto a quello generico positivo per cui abbiamo visto che vale l'uguaglianza f(x) = b ax , per la proprietà della uguaglianza dei rapporti in corrispondenza a incrementi uguali si ha: f(0)/f(-x) = f(x)/f(0) , quindi f(-x) = f(0) f(0) / f(x)= b2 / f(x) = b2/(b ax) = b/ax = b (1/ax) , ossia continua a valere la espressione f(x)=b ax anche con -x al posto di x purché si definisca a-x =1/ax .

la dicitura "a rapporti esponenziali" trae origine dal fatto che, indipendentemente da quale sia l'ascissa x scelta come iniziale per l'incremento della variabile indipendente, si ha: g(p)=f(x+p)/f(x) = (b ax+p)/(b ax ) = (ax+p)/(ax )= (ax ap)/(ax ) = ap , ossia la funzione rapporto della f in x associa ad ogni p la potenza di base a ed esponente p stesso; tale funzione è detta "esponenziale in base a" (osserviamo che la base di g è la stessa per tutti i valori iniziali x della variabile indipendente)

Funzioni a...

Funzioni a incrementi lineari (o direttamente proporzionali)

Sia f una funzione definita su tutti i numeri razionali e siano h e k due di tali numeri

si dice incremento (o differenza) della variabile dipendente y=f(x) da x=h a x=k il valore f(k)-f(h) , mentre k-h è detto incremento della variabile indipendente x nel passaggio da x=h a x=k

la funzione f è detta "a incrementi lineari" (al posto di "incrementi" si può usare il termine "differenze" e al posto di "lineari" la locuzione "direttamente proporzionali") se a incrementi uguali della variabile indipendente corrispondono incrementi uguali della variabile dipendente, ossia se l'incremento della variabile dipendente è lo stesso in corrispondenza di due incrementi uguali della variabile indipendente

in formula : f(x+p) - f(x) = f(x'+p) - f(x') , per ogni scelta di x , x' , p ( linearità degli incrementi ); gli incrementi della variabile indipendente da x a x+p e da x' a x'+p sono uguali a p ; un modo alternativo di esprimere questa formula è l'affermazione che l'espressione f(x+p) - f(x) dipende da p e non da x ossia scrivere l'uguaglianza : f(x+p) - f(x) = g(p) , dove g(p) è una funzione della variabile "incrementale" p (la funzione g è detta "funzione incrementale" ricavata da f con valore iniziale x dato alla variabile indipendente, oppure semplicemente " funzione incrementale di f in x " )

proveremo che per ogni numero razionale x si ha: f(x) = a x + b , con a = f(1) - f(0) e b = f(0)

dividiamo l'intervallo di base fra x=0 e x=1 in n parti uguali, realizzando n incrementi ognuno di 1/n a partire da x=0, cui corrispondono altrettanti incrementi della variabile dipendente tutti uguali fra di loro (clicca sulla figura qui sotto e poi premi la barra spaziatrice tante volte fino a quando non hai ottenuto il valore desiderato di n (che all'inizio è pari a 1); per tornare allo stato iniziale digita la lettera c ( = "clear"), inoltre per spostare la figura usa il tasto destro del mouse ; agendo su a=f(1)-f(0) e su b=f(0) si modifica la funzione f ; muovendo d in orizzontale (oppure agendo sulle frecce di spostamento laterale dalla tastiera) si sposta il punto iniziale h dell'incremento p=k-h=1/n ). Infine coi tasti + e - si agisce sulla scala della intera figura.

agli incrementi di 1/n sulle ascisse corrisponde sempre lo stesso incremento q sulle ordinate

in formule : f(1/n)-f(0)=q , f(2/n)-f(1/n)=q , ... , f(1)-f(1-1/n)=q , ... , f(m/n) - f(m/n - 1/n) = q , ecc ...

sommando membro a membro le prime n (corrispondenti alla suddivisione in figura) di tali uguaglianze, e semplificando i termini opposti presenti nella prima di tali somme otteniamo: f(1)-f(0) = nq, ossia a=nq (ricordiamo che abbiamo posto a=f(1)-f(0) ), ovvero troviamo il valore di q, che è : q = a/n

Quindi: f(1/n)-f(0)=a/n , f(2/n)-f(1/n)=a/n , ... , f(1)-f(1-1/n)=a/n , ... , f(m/n) - f(m/n - 1/n) = a/n

dalle precedenti uguaglianze, usando dalla seconda in poi l'uguaglianza immediatamente precedente e ricordando che abbiamo posto b=f(0), otteniamo: f(1/n)=a/n+f(0)=a/n+b , f(2/n)=a/n+f(1/n)=2a/n+b, ... , f(1) = a/n + f(1-1/n) = n a/n + b , ... , f(m/n) = a/n + f(m/n-1/n) = m a/n + b = a m/n + b , ossia per ogni x razionale espresso come m/n , con m numero intero non negativo, si ha : f(x) = a x + b

se -x è il numero razionale negativo opposto a quello generico positivo per cui abbiamo visto che vale l'uguaglianza f(x)=ax+b, per la proprietà della linearità degli incrementi si ha: f(0) - f(-x) = f(x) - f(0) , quindi f(-x) = -f(x) + 2 f(0) = -(ax+b) + 2b = -ax - b + 2b = -ax + b = a (-x) + b , ossia continua a valere la espressione f(x)=ax+b anche con -x al posto di x .

la dicitura "a incrementi lineari" trae origine dal fatto che, indipendentemente da quale sia x, si ha: g(p)=f(x+p)-f(x)=a(x+p)+b-ax-b=ap , ossia la funzione incrementale della f in x è lineare, ossia è una proporzionalità diretta (la stessa per tutti i valori iniziali x della variabile indipendente)

In conclusione: ogni funzione a incrementi lineari ha per equazione l'equazione di una retta non verticale

E' possibile sc...

E' possibile scaricare materiale su windows, word, excel, derive, cabri, pascal al seguente indirizzo http://provincia.milano.it/scuole/vittorioveneto/sito_definitivo/classi/schede_classi/informatica.htm