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funzione incrementale  g   associata a una funzione  f  e a un valore  x  dell'argomento ;  operatore   D

g  è definita dalla formula   g(p)=f(x+p)-f(x) ;   in genere g(p) dipende da x oltre che dall'incremento p, ossia g(p) è funzione dell'incremento, ma la funzione g stessa varia al variare della scelta di x

nella seguente  Error: Cannot run the Java applet.   agendo su d si modifica x e agendo su c si modifica p; il punto g descrive il grafico della funzione incrementale di  f  con valore  x   dell'argomento; come si vede, la funzione g cambia al variare di x

Nell'espressione  f(x+p)-f(x)   sono presenti le due variabili  x  e  p, entrambe variabili indipendenti e che variano indipendentemente l'una dall'altra; la variabile p è l'incremento della x (nel passaggio da x a x+p) e viene usualmente indicato con il simbolo Dx (in cui la lettera "delta" ricorda la lettera "d" di "differenza"); pertanto  x  e  Dx sono entrambe variabili indipendenti.   D  è detto "operatore differenza" .

Dx, che è detta "variabile incrementale della variabile x", è indipendente dalla variabile x.

La espressione f(x) è una variabile dipendente dalla  variabile x, mentre l'espressione  f(x+Dx)-f(x)  è una variabile dipendente dalle due variabili x e Dx.

dal momento che Dx  è l'incremento della variabile dipendente f(x) nel passaggio della x al valore x+Dx , si pone:    Df(x) = f(x+Dx)-f(x)

l'espressione Df(x) deve essere interpretata come  D( f(x) ) ,  ossia il simbolo  D  agisce sull'espressione  f(x)  (contenente la sola variabile x) per produrre una nuova espressione contenente sia la variabile x sia la corrispondente variabile incrementale Dx  (e per tale motivo  Df(x) è detta  "espressione incrementale nella variabile x" ).  Ad esempio:            D( x2 ) = (x + Dx)2 - x2 = 2xDx + (Dx)2 .

nell'espressione  f(x) la f (da sola) indica la funzione, mentre l'espressione f(x) è detta "espressione funzionale nella variabile x" o anche "forma funzionale nella variabile x". Potremmo applicare la stessa funzione f ad un'altra variabile, ad esempio t, e ottenere l'espressione funzionale f(t) nella variabile t. Sarebbe bene distinguere sempre fra "funzione" ed "espressione funzionale"

l'operatore  D  può essere applicato anche al solo simbolo di funzione f per ottenere una nuova funzione  Df , ponendo:  (Df)(x)(p) = f(x+p)-f(x) ; ciò significa che ad ogni x  la funzione  Df associa non un numero, bensì la funzione incrementale  g ,  associata alla f e al  valore x dell'argomento di f,  che abbiamo detto essere quella che associa a ogni p il valore  f(x+p)-f(x) :  quindi  (Df)(x)=g (e fra l'altro da ciò viene esplicitata la dipendenza di g dallo x scelto). Pertanto  (Df)(x) non è un numero, ma un'intera funzione.

possiamo riassumere quanto detto ai due punti precedenti con la seguente uguaglianza, che mette in relazione la funzione  Df con l'espressione D(f(x)) :  (Df)(x)( Dx ) = f(x+Dx)-f(x) =  D( f(x) )

ultima osservazione, questa volta di carattere geometrico: la funzione incrementale  g = (Df)(x) , associata alla funzione f e al valore x dell'argomento, ha  (v. la figura sopra)  un  grafico ottenuto per traslazione dal grafico della funzione f con la traslazione che porta il punto (x , f(x) ) nell'origine, il che equivale a considerare degli assi ausiliari centrati, invece che nell'origine, nel punto ( x , f(x) ) .