Struttura di una frase espressa mediante un albero:
e, equivalentemente, tramite testo "indentato":
la precedente sezione ha il seguente codice HTML |
<div> |
prova a tradurre in albero tale struttura |
proporzioni |
In figura vediamo una quaterna di elementi in proporzione: |
Se il punto d esce dall'asse delle ascisse, anche m e n escono dagli assi |
In tal modo si estende la proporzionalità al caso in cui i 4 punti sono |
cambiamento di base (sistema di riferimento), omotetie |
Ogni punto p della stella verde, che ha coordinate (x,y) rispetto alla base 1 e i=ort(1), ha un corrispondente p' nella stella viola con le stesse coordinate (x,y) ma rispetto alla base a e n=ort(a); puoi muovere a per cambiare la base ( a , n ) e il centro d per cambiare la posizione della stella verde; inoltre puoi muovere b=f (inizialmente pari a 1) e vedere come varia g = ba ( le coordinate che b ha rispetto a 1 le ha ba rispetto ad a ). Prova a portare il punto b sulla stella verde e nota come g = ba sta nel corrispondente punto dell'altra stella. |
triangoli omotetici |
Nella figura di sopra puoi spostare con il mouse i vertici del triangolo bcd e scegliere (sempre con il mouse) il punto a che produce l'omotetia, e quindi il triangolo omotetico di vertici ba, ca, da. Inoltre, tramite pressioni sulla la barra spaziatrice della tastiera (ricorda di selezionare prima la figura con un clic sopra di essa), si fa variare il punto h sul triangolo bcd e in corrispondenza il punto k=ha percorre il triangolo omotetico. |
numeri unitari |
Nella figura vedi un punto a (mobile col mouse) e il suo coniugato k=conj(a). Il triangolo di vertici 0, ax , a (quello con due lati blu) può essere sottoposto a cambiamento di scala: muovendo il punto c lo vedi in azzurro e in scala c, ossia il triangolo azzurro ha vertici 0·c=0, ax·c, a·c. Quando c=k il triangolo è realizzato in scala k ed è quello con due lati rossi, con vertici 0, ax·k, a·k. Come puoi notare, il vertice a·k sta sempre sul semiasse destro delle ascisse. Puoi anche osservare, muovendo a col mouse, come i triangoli blu e rosso hanno in genere fra di loro differenti dimensioni, pur restando sempre di uguale forma (ossia simili). Infatti quello rosso è realizzato sostituendo la scala dell'unità con quella di k. Essi assumono le stesse dimensioni quando il lato congiungente 0 con k assume le stesse dimensioni del segmento congiungente 0 con 1; e in tal caso anche a (che ha k come coniugato) dista 1 da 0. In una qualunque di tali configurazioni (che puoi più facilmente realizzare portando d al di sopra dell'asse delle ascisse e poi portando a sulla circonferenza verde che appare) si ha che i lati 0_k, 0_a·k, 0_a hanno tutti uguale dimensione, pari a 1 e in particolare a·k, che è sul semiasse destro dell'asse orizzontale, coincide proprio con 1. Quindi l'uguale dimensione dei triangoli blu e rosso si realizza quando a·k=1, ossia quando (ax,ay)(ax,-ay)=1, ossia ax2 + ay2 = 1. |
Brevemente possiamo dare la seguente definizione: |
Le otto isometrie piane fondamentali |
A seconda della posizione del punto commutatore c,
|
A seconda della posizione del punto commutatore c,
|
| Notiamo come si ottengono quattro simmetrie assiali e quattro rotazioni. Queste otto trasformazioni non modificano la distanza dall'origine (porta il punto d sopra l'asse delle ascisse) e perciò vengono dette isometrie . Vedi anche le isometrie e il caleidoscopio e http://w3.romascuola.net/gspes/pgc/8_isometrie.html |
Il numero di nepero e l'esponenziale naturale |
Nella figura vedi in verde la retta passante per (0,1) di pendenza m |
| tale retta ha equazione y=m·x+1, ossia è l'insieme { (x,y) : y=m·x+1 }. |
| Muovendo in orizzontale c si sposta m sull'asse delle ascisse |
| e di conseguenza si modifica la pendenza della retta verde, che è appunto m. |
| Sulla retta verde varia un punto k, la cui ascissa è l'ascissa del punto d. |
| Muovendo in orizzontale d muovi anche k = ( dx , m · dx + 1 ). |
| La curva in blu e l'esponenziale passante, oltre che per (0,1), per il punto k. |
| Avvicinando sempre di più d a 0, il punto k tende al punto (0,1) |
| e corrispondentemente la curva blu tende a una curva limite ben precisa. |
| Nota che quando d coincide esattamente con 0 tale curva scompare. |
| Infatti la curva blu è l'esponenziale di base (m · dx + 1)1/dx |
| e quando dx=0 tale numero non esiste (la base tende a 1 e l'esponente a ± ¥ ) |
| però quando dx "tende" a 0 la quantità (m·dx+1)1/dx "tende" a un numero |
| indichiamo tale numero, dipendente da m, con exp(m) e poniamo e=exp(1). |
| Il numero e è detto numero di Nepero ( o di Eulero ). |
| Nella figura porta d quasi sullo 0 in modo che il valore dx sia quasi nullo |
| e vedrai visualizzato con i segmenti verticali rossi il valore di exp(m) |
| e quindi quando m=1 i segmenti verticali rossi misurano e (numero di Nepero). |
| Nella figura riporta (se lo avessi spostato) m al valore 1 (muovendo c) |
| nota il punto n = ( m , exp(m) ), che adesso che m=1 vale ( 1 , e ) |
| poi digita il tasto "p" sulla tastiera per attivare il plottaggio |
| e quindi fai variare m su tutta la parte visibile dell'asse delle ascisse |
| vedrai che il punto n descrive una curva grigia e che tale curva è y=ex |
| infatti quando m=1 la curva grigia coincide con l'esponenziale in base exp(m) |
| Pertanto concludiamo che al variare di m il punto n sta sulla curva y=ex |
| il che vuol dire che ( m , exp(m) ) sta sulla curva y=ex, ossia exp(m)=em. |
| Pertanto l'esponenziale avente "pendenza" m nel punto (0,1) è y=(em)x=emx. |
Per usare sul tuo computer l'applicazione PGC scarica i seguenti file:
pgc.jar , pgc.htm e comandi_pgc.html
( attenzione: alcune versioni di Internet Explorer salvano l'ultimo file in formato "htm" invece di "html" ;
in tal caso, modifica tu stesso, dopo lo scaricamento, l'estensione .htm trasformandola in .html )
mettili tutti e tre in una stessa cartella del tuo computer.
Potrai attivare l'applicazione cliccando due volte sul file pgc.htm di tale cartella.
Collegato a PGC è PUG (Parametrical URL Graphics)
Nella figura sono rappresentate expa , expb , loga , logb ;
k è quel numero tale che ak=b , quindi k=logab ;
la figura illustra che bx = akx e che quindi, per simmetria rispetto a y=x,
logax = k·logbx
( ovvero: logax = logab · logbx )
Quando b=a (porta col mouse b a coincidere con a) logb=loga ed expa sono funzioni inverse
e quindi la loro composizione è l'identità: loga ax = x .
In generale, se k è quel numero tale che ak=b , quindi k=logab , si ha:
loga bx = loga akx = k·x = x · logab .
In figura x è l'ascissa del punto d (spostabile col mouse) e m=bx=akx .
Muovendo d si modificano, sull'asse delle ascisse, x , k·x e m .
In figura abbiamo le funzioni expa , expb ed expab ;
l'ascissa variabile x è l'ascissa del punto d (spostabile col mouse) ;
k è quel numero tale che ak=b , quindi k=logab ;
sull'asse delle ascisse compaiono, insieme con k, x , kx e x+kx ;
m è il punto (x,ax+kx)=(x,axbx) , che coincide con (1,ab) se x=1 ;
siccome: axbx=axakx=ax+kx=a(1+k)x=(a1+k)x=(a·ak)x=(ab)x ,
si ha che m varia sulla curva esponenziale expab .
L'uguaglianza axbx=(ab)x esprime il fatto che expa · expb = expab .
inversione di una funzione |
Muovendo i punti a e b si modifica il dominio della funzione scelta nella casella f (il cui grafico è in azzurro). La relazione inversa di f è il grafico g (in rosso - scompare se il punto d viene portato sotto l'asse delle ascisse). Come si vede nell'esempio preso in esame (che può essere modificato inserendo un'altra espressione f(n) nella casella f), se la funzione f non è iniettiva (ossia se non associa ad ascisse distinte ordinate distinte - e il movimento del punto c permette di evidenziare se c'è, come in questo caso, qualche ordinata associata ad ascisse distinte), allora g è una relazione (ossia un insieme di coppie) ma non una funzione, in quanto (come evidenzia la retta verticale viola, essa stessa inversa di quella orizzontale verde) esistono valori x dell'ascissa a cui g associa differenti ordinate, per cui non può esser usata la notazione g(x), che verrebbe ad essere ambigua. |
La curva blu è la funzione esponenziale in base a , quindi f : x -> ax , ossia f = {(x,y) : y=ax }, mentre la curva rossa è la funzione g ottenuta per stiramento orizzontale di fattore c , ossia l'ascissa di ogni coppia costituente f è moltiplicata per il fattore c , per cui g = {(cx,y) : y=ax } = {(x',y) : y=ax'/c }, ossia, ponendo k=1/c, g : x -> akx .
Nella figura l'ascissa variabile x è l'ascissa del punto d (mobile col mouse) e m=(x,g(x)) e h=(kx,f(kx)).
Quando x=1 si ha m=(1,ak) e h=(k,f(k))=(k,ak) . Si pone il problema: la funzione g , che passa per (0,1) e per (1,ak), è l'esponenziale in base ak ?
La risposta positiva, che equivale a dire che g(x)=(ak)x , ossia equivale all'uguaglianza (scritta nel titolo) akx=(ak)x , è mostrabile in figura portando il punto b sull'asse delle ordinate (o anche leggermente alla sua destra), il che fa trasformare la curva blu nella funzione esponenziale x -> bx , e portando b a coincidere con ak (che è l'ordinata di m o di h quando d ha ascissa 1).
da un sito stravagante
come scrivere nelle pagine web formule che non siano immagini :
|
| circonferenza goniometrica |
| C(0,1) = { u∈C : u·ū = 1 } ( v. def. di punto unitario ) |
| C(0,1) = { (x,y)∈R² : x²+ y² = 1 } |
| funzione goniometrica |
| t → P( t ) ∈ C(0,1) , con t∈R |
| proprietà di base della funzione goniometrica |
| P( α + β ) = P( α ) · P( β ) |
| P(π/2) = i = (0,1) = 1⊥ |
| P( 0 ) = 1 = (1,0) (derivabile dalla prima) |
| P( -α ) = P( α ) (derivabile da prima e terza) |
| definizione fondamentale |
| P( α ) = ( cos α , sin α ) = cos α + i sin α |
| prime proprietà derivate da quelle di base |
| P(π)=P(π/2+π/2)=P(π/2)·P(π/2)=i²=-1 |
| P(3π/2) = P( π + π/2) = (-1)·P(π/2) = -i |
| P(2π) = P(π+π) = P(π)·P(π) = (-1)(-1) = 1 |
| P(t+2π) = P(t)·P(2π) = P(t) |
| angoli associati |
| P(t+π) = P(t)·P(π) = P(t)·(-1) = -P(t) |
| P(t+π/2) = P(t)·P(π/2) = P(t)·i = P(t)⊥ |
| P(t-π/2)=P(t)·P(-π/2)=P(t)·ī=P(t)·(-i)= - P(t)⊥ |
| P(π-t) = P(π)·P(-t) = P(π)·P(t) = -P(t) |
| P(π/2-t)=P(π/2)·P(-t)=P(π/2)·P(t)=i·P(t)=(P(t))⊥ |
| P(2π-t) = P(2π)·P(-t) = P(2π)·P(t) = P(t) |
| P(-π/2-t)=P(-π/2)·P(-t)=(-i)·P(t)= - (P(t))⊥ |
| qui sotto, usa i punti b , c , d come "interruttori" : prova a portare uno o più di questi punti sopra l'asse delle ascisse |
il morfismo additivo-moltiplicativo esponenziale |
In figura a , b e c possono essere mossi col mouse |
La funzione rappresentata in figura è f(x)=ax , con a>0 ; |
Tale costruzione nel caso b=1 permette di costruire f(x) con x=0,1,2,3,... |
clicca sulla figura e poi premi più volte la barra spaziatrice |
Si parte da x=0 , k=(x,f(x))=(0,f(0))=(0,1) e m=(x+1,f(x+1))=(1,f(1))=(1,a)=h |
Spostando il punto d fino a dargli ascissa, ad esempio, 2, si passa ad |
Spostando il punto d fino a dargli ascissa, ad esempio, 3, si passa ad |
e così via ... (quindi d determina in quante parti dividere l'unità) |
moltiplicazione grafica di numeri complessi |
Prendi due punti ( numeri complessi ) a e b |
congiungi con segmenti a con la sua ascissa ax e con la sua ordinata ay·i |
congiungi con segmenti b con la sua ascissa bx e con la sua ordinata by·i |
congiungi con segmenti i punti 1 e i e poi i punti -1 e i |
| traccia per il punto ax la parallela al segmento 1_i e determinane l'intersezione con l'asse delle ordinate: questo punto è ax·i |
| traccia per il punto ay·i la parallela al segmento -1_i e determinane l'intersezione con l'asse delle ascisse: questo punto è -ay |
| costruisci la verticale per -ay e l'orizzontale per ax·i : la loro intersezione è il punto n = -ay + ax·i = a^ normale ( ortonormale ) al punto a |
congiungi con segmenti i punti 1 e a e poi i punti i e n |
| traccia per il punto bx la parallela al segmento 1_a e determinane l'intersezione con la retta 0_a : questo punto è bx·a |
| traccia per il punto by la parallela al segmento i_n e determinane l'intersezione con la retta 0_n : questo punto è by·n |
| traccia per bx·a la parallela a 0_n e per by·n la parallela a 0_a : l'intersezione di tali rette è m = bx·a + by·a^ = (bx·1 + by·1^)·a = b·a |
