... e un'introduzione all'informatica   

 

 

  un'introduzione alla logica  

 

 

squiSITO ,   ma gustabile solo con ...  posateria microsoft

 

---

---

cambiamento di base nei logaritmi :  
log_b x = ( log_a x ) / ( log_a b )
(   log_a x = log_a b^(log_b^x) = log_b x  ·  log_a b = log_a b  ·  log_b x   )

Nella figura sono rappresentate  exp_a ,  exp_b , log_a ,  log_b ;
 k  è quel numero tale che  a^k=b ,   quindi  k=log_ab ;
 la figura illustra che   b^x = a^kx   e che quindi, per simmetria rispetto a  y=x, 
  log_ax = k·log_bx
 ( ovvero:  log_ax = log_ab · log_bx )

Logaritmo di una potenza (logaritmo di esponenziale) :  
log_a b^x = x · log_a b

Quando  b=a   (porta col mouse  b  a coincidere con  a)   log_b=log_a  ed  exp_a  sono funzioni inverse
e quindi la loro composizione è l'identità:  log_a a^x = x .
In generale, se  k  è quel numero tale che  a^k=b ,   quindi  k=log_ab , si ha:
log_a b^x = log_a a^kx = k·x = x · log_ab .
In figura  x  è l'ascissa del punto  d  (spostabile col mouse)  e  m=b^x=a^kx .
Muovendo  d  si modificano, sull'asse delle ascisse,  x ,  k·x   e   m .

Prodotto di esponenziali :   a^x·b^x = (a·b)^x

In figura abbiamo le funzioni  exp_a  ,   exp_b   ed  exp_ab ;
l'ascissa variabile  x  è l'ascissa del punto  d  (spostabile col mouse)  ;
k  è quel numero tale che  a^k=b ,   quindi  k=log_ab  ;
sull'asse delle ascisse compaiono, insieme con k,   x , kx  e  x+kx  ;
m   è il punto   (x,a^x+kx)=(x,a^xb^x) , che coincide con  (1,ab)  se  x=1  ;
siccome:  a^xb^x=a^xa^kx=a^x+kx=a^(1+k)x=(a^1+k)^x=(a·a^k)^x=(ab)^x  ,
si ha che  m  varia sulla curva esponenziale  exp_ab  .
L'uguaglianza  a^xb^x=(ab)^x  esprime il fatto che   exp_a · exp_b =  exp_ab .

inversione di una funzione

Muovendo i punti  a  e  b  si modifica il dominio della funzione scelta nella casella  f  (il cui grafico è in azzurro). La relazione inversa di  f  è il grafico  g  (in rosso - scompare se il punto d viene portato sotto l'asse delle ascisse). Come si vede nell'esempio preso in esame (che può essere modificato inserendo un'altra espressione f(n) nella casella f), se la funzione  f  non è iniettiva (ossia se non associa ad ascisse distinte ordinate distinte - e il movimento del punto  c  permette di evidenziare se c'è, come in questo caso, qualche ordinata associata ad ascisse distinte), allora g è una relazione (ossia un insieme di coppie) ma non una funzione, in quanto (come evidenzia la retta verticale viola, essa stessa inversa di quella orizzontale verde) esistono valori x dell'ascissa a cui g associa differenti ordinate, per cui non può esser usata la notazione g(x), che verrebbe ad essere ambigua.

esponenziale di un prodotto :     a^kx = (a^k)^x

 La curva blu è la funzione esponenziale in base  a , quindi  f : x -> a^x ,  ossia  f = {(x,y) :  y=a^x }, mentre la curva rossa è la funzione  g  ottenuta per stiramento orizzontale di fattore  c  , ossia l'ascissa di ogni coppia costituente  f  è moltiplicata per il fattore  c ,  per cui  g =  {(cx,y) :  y=a^x } = {(x',y) :  y=a^x'/c }, ossia, ponendo  k=1/c,   g : x -> a^kx .
Nella figura l'ascissa variabile  x  è l'ascissa del punto d (mobile col mouse) e  m=(x,g(x))  e  h=(kx,f(kx)).
 Quando  x=1  si ha  m=(1,a^k)  e   h=(k,f(k))=(k,a^k) . Si pone il problema: la funzione  g , che passa per (0,1) e per (1,a^k), è l'esponenziale in base a^k ?
 La risposta positiva, che equivale a dire che  g(x)=(a^k)^x , ossia equivale all'uguaglianza (scritta nel titolo)  a^kx=(a^k)^x , è mostrabile in figura portando il punto b sull'asse delle ordinate (o anche leggermente alla sua destra), il che fa trasformare la curva blu nella funzione esponenziale  x -> b^x ,  e portando  b  a coincidere con a^k  (che è l'ordinata di  m  o di  h  quando  d  ha ascissa 1).

 

 La matematica della conoscenza

 

 i morfismi esponenziale e logaritmico

x	→	expa			→	u
	←	loga			←
+	x + y	→	expa	→	u · v	·
		←	loga	←
y	→	expa			→	v
	←	loga			←

 

expa(x+y)=ax+y=ax·ay=expa(x)·expa(y)=u·v

loga(u·v) = loga(u) + loga(v) = x + y

 

da un sito stravagante

come scrivere nelle pagine web formule che non siano immagini :

MathML

matrici come tabelle

( e non solo matrici :

a  1/n  =  n   a

)