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Densità, continuità, divisibilità

Densità : dati x e y in R tali che x<y, esiste un z in R tale che  x<z  e  z <y  (in breve : x<z<y ).   Ciò deriva dall’assioma:    x ∈ R+  ⇒  ∃ x’∈ R+  x-x’∈ R+ .   Infatti, preso  x’ in modo che x’>0 e  x’<y-x , si ha  x<x+x’<y . Conseguenze : Teorema (di subdimezzabilità o subdivisibilità binaria) :   dato x>0, esiste y>0 tale che       2y=y+y<x .    dimostrazione:  preso  z>0 tale che z<x (l’esistenza di un tale z è postulata dall’assioma precedente), se anche 2z<x si prende y=z, altrimenti si prende y<x-z (infatti da 2z ≥ x segue  x-z ≤  z  e quindi  2x-z ≤ x+z , quindi 2(x-z)=2x-2z ≤ x) Teorema (di subdivisibilità) :   dato n numero naturale non nullo e dato x>0, esiste y>0 tale che    ny < x .   dimostrazione: si procede per induzione su n. Se n=1 l’asserto coincide con l’assioma di densità. Supposto che esista y>0 tale che ny<x ,  dalla subdimezzabilità segue l’esistenza di un y’>0 tale che 2y’<y ,  per cui si ha:   (n+1)y’ ≤ 2ny’ < ny < x .

Continuità    Definizioni : 1) dati A e B sottoinsiemi di R si dice che A precede B (scrivendo A<<B) se A e B sono non vuoti e ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B.   (In particolare ne segue che A e B sono disgiunti) 2) intervalli :   [a,b] := {x : a ≤ x ≤ b} ,                      ]a,b] := {x : a < x ≤ b} ,                      [a,b[ := {x : a ≤ x < b}  ,                      ]a,b[ := {x : a < x < b} ,     semirette :  [a , ∞ [ := {x : a ≤ x } ,  ]a , ∞ [ := {x : a < x } (illimitate superiormente) ;                     ]-∞ , a] := {x : x ≤ a } , ]-∞ , a[ := {x : x < a } (illimitate inferiormente) . 3) un sottoinsieme A di R è detto “collocato inferiormente” se precede il suo complementare; un sottoinsieme B di R è detto “collocato superiormente” se il suo complementare lo precede. Analogamente se invece di R consideriamo R+ (e quindi  A è sottoinsieme di R+ e l'insieme complementare di A è riferito a R+). Assioma di continuità (di R) : Ogni sottoinsieme di R collocato inferiormente è una semiretta illimitata inferiormente   (quindi del tipo  ]-∞ , a]  oppure ]-∞ , a[  ).  Una versione perfettamente equivalente (provare per esercizio tale equivalenza) si ottiene limitandosi ai numeri reali positivi : Assioma di continuità (di R+) : Ogni sottoinsieme di R+=]0,∞[ collocato inferiormente è un intervallo del tipo  ]0,a] oppure ]0,a[. L’elemento a è detto “separatore” (o “elemento di separazione”) fra A e il suo complementare. Esso è anche detto “estremo superiore” di A e “estremo inferiore” del complementare di A  ;   nel caso in cui esso appartiene ad A (ossia  A=]-∞ , a] oppure ]0,a] ) è detto “massimo” di A  ,  mentre nel caso esso non appartiene ad A (ossia  A=]-∞ , a[ oppure ]0,a[ ) esso è detto “minimo” del complementare di A.

Divisibilità : se n è un numero naturale non nullo, per ogni x>0 esiste un unico y>0 tale che ny = x. (Se invece x<0, allora esiste un unico y<0 tale che  n y = x , per provare la quale cosa si procede a dividere –x>0 e poi a cambiare di segno il risultato della divisione).       La dimostrazione (che nel caso n=1 è ovviamente inutile) si ottiene considerando i due insiemi seguenti : A := {z :  nz ≤  x }  e   B :={z :  nz >  x}, che risultano essere complementari e il primo precedente il secondo, per cui si pone y uguale al separatore di A e B. Tale y non può verificare né la condizione ny>x (in quanto se così fosse, preso p > 0 tale che  np < ny-x ,   si avrebbe n(y-p)=ny-np>ny-ny+x=x e quindi y-p minore di y ma in B, invece che in A) né la condizione ny<x (in quanto se così fosse, preso p > 0 tale che  np < x-ny ,  si avrebbe n(y+p)=ny+np<ny+x-ny=x e quindi y+p maggiore di y ma in A, invece che in B) e pertanto deve risultare ny=x.

Introduzione assiomatica degli insiemi numerici R e C

Esercizio - 3^S

Sia P=(1,1) e Q=(r,0), con r non negativo; 1) determinare l’equazione della retta s passante per P e Q 2) determinare l’equazione della retta s_|_(P) passante per P e perpendicolare a s 3) determinare l’equazione della retta s_|_(Q) passante per Q e perpendicolare a s 4) determinare l’equazione della retta s_|_(M) passante per M=(punto medio fra P e Q) e perpendicolare a s 5) detta q(r) la intercetta sulle ordinate della retta al punto (4), stabilire per quali valori di r tale intercetta è positiva, nulla o negativa 6) il caso relativo a q(r)=0 corrisponde ad avere un triangolo isoscele nella figura rappresentante la configurazione per tale caso. Quale è tale triangolo? 7) generalizzare quanto fatto nei precedenti punti (1)...(6) al caso di un punto P=(a,b) con b>0.

PROGRAMMA DI MATEMATICA

CLASSI 5^S e 5^V - anno scolastico 2003/2004 (insegnante: Gaetano Speranza)

Funzioni e loro dominio. Funzioni reali di una variabile. Funzioni reali lineari di variabile reale e loro rappresentazione. Intervalli in R e topologia della retta reale.

Modellii lineari ( y = a x ) e loro traslati ( y = a x + b ). Retta passante per due punti nel piano cartesiano.

Modelli quadratici ( y = a x² ) e loro traslati ( y = a x² + b x + c ). Determinazione della traslazione che trasforma y = a x² in

y = a x² + b x + c .

Velocità di crescita di una funzione. Approssimazione del grafico di una funzione in un suo punto con la retta tangente (problema della linearizzazione locale); il concetto di derivata, esaminato anche con l’uso del computer.

Il concetto di differenziale per funzioni di una variabile reale: approssimazione dell’incremento effettivo con l’incremento lineare.

Principali derivate (delle funzioni y = costante , y = xⁿ , y = a^x , y = sin x , y = cos x , con le relative dimostrazioni) e delle tecniche di derivazione di applicazione delle formule di derivazione di somme, prodotti, composizioni di funzioni.

Applicazioni di tali regole alla determinazione delle derivate di funzioni più composte, quali y = tg x = sin x / cos x .

Le funzioni goniometriche inverse arcsin, arccos, arctg e le loro derivate .

Studio di una funzione utilizzando il calcolo differenziale, con applicazioni a semplici casi.

Successioni ( funzioni con dominio N⁺ ) e limiti di successioni e di funzioni : il numero di Nepero come limite della successione (1+1/n) ⁿ . Richiami delle regole di calcolo con i logaritmi.

Limiti collegati al limite di Nepero. Limite di sin x / x per x tendente a zero. Cenni al concetto di serie.

Il problema della misura dell’area sottesa dal grafico di una funzione (ossia compresa fra questo e l’asse delle ascisse) e compresa fra rette verticali di ascisse date.

Definizione dell’integrale definito di una funzione esteso ad un intervallo [a,b] , introdotto come applicazione dei concetti di limite di una successione e dell’operatore di sommatoria e con equisuddivisione dell’intervallo di integrazione : scaloidi anticipato (o sinistro) e posticipato (o destro) approssimanti. Estensione del processo di integrazione definita al caso di suddivisione qualunque dell’intervallo.

Integrale definito di una somma di funzioni, del prodotto di una funzione per un numero (multiplo di una funzione). Scambio degli estremi di integrazione. Suddivisione dell’intervallo di integrazione [a,b] in unione di sottointervalli [a,c] e [c,b].

Teorema fondamentale del calcolo integrale e collegamento dell’integrale definito con le primitive della funzione integranda.

Integrale indefinito di una funzione, ovvero insieme delle primitive di questa. Esame della motivazione e del significato geometrico della costante di integrazione a meno della quale è individuata una primitiva.

Integrazione, definita e indefinita, per parti, per sostituzione, per decomposizione in somma della funzione integranda.

PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA DEL QUARTO LIVELLO

classe 4^R – 2003/2004 – 1° quadrim.

( insegnante : Gaetano Speranza )

Prerequisiti e introduzione Piano complesso e operazioni di addizione e moltiplicazione con interpretazione geometrica.Risultati fondamentali della goniometria ricavati con l’uso della struttura del piano complesso.Concetto di funzione e di trasformazione nel piano.
MODELLI DISCRETI
Successioni Definizione di successione. Rappresentazione cartesiana di una successione. Successioni definite esplicitamente. Successioni definite ricorsivamente. Fattoriale. Sequenze finite. Simbolo di sommatoria e successione cumulata (per addizione) ricavata da una successione numerica. Successioni infinitesime ed infinite. Convergenza, non convergenza e divergenza. Limite di una successione convergente o divergente.
INTRODUZIONE ALLE SERIE NUMERICHE	INTRODUZIONE ALLE FUNZIONI ESPONENZIALI
Progressioni aritmetiche e geometriche Definizione di progressione aritmetica e di progressione geometrica. Formule di Gauss per la somma dei primi n termini di una progressione geometrica.	Crescita lineare e composta, esponenziale reale Crescita lineare f(C,a,t)=C+Cat=C(1+at). L’esempio della capitalizzazione semplice. Ricapitalizzazioni e crescita composta. La successione : { (1+ a/n)k }k=0,1,… Numero e ; funzione esponenziale reale exp(x) e suo grafico ( anche per x < 0 ). Capitalizzazione continua. Logaritmi.
Numeri periodici Deduzione della regola per la trasformazione di un numero periodico in forma di frazione di interi.	Esponenziale complesso Richiami sulle operazioni in C. Il limite di (1+it/n)n , per n tendente ad infinito. Esponenziale complesso e formula di Eulero.
MODELLI CONTINUI
Funzioni reali di una variabile reale Intervalli reali. Richiamo della definizione di funzione. Dominio di una funzione e campo di esistenza di funzioni elementari (campo di definizione di espressioni contenenti una variabile). Intorni di un punto. Intorni di infinito. Concetti intuitivi di convergenza e di divergenza. Concetto intuitivo di continuità. Asintoti orizzontali e verticali. Limite del rapporto (sin x)/x per x tendente a 0 (giustificazione geometrica). Funzioni goniometriche inverse.
Introduzione al calcolo differenziale Incrementi della variabile indipendente e incrementi dipendenti di una funzione in un dato valore iniziale della variabile indipendente. Rapporto incrementale e concetto di velocità media di crescita. Velocità istantanea di crescita. Tangente ad un grafico in un suo punto, e sua pendenza. Derivata di una funzione y=f(x) in un valore x0 della sua variabile indipendente. Funzione f ’ derivata di una funzione f . Notazione (di Leibniz) dy/dx . Derivate di funzioni elementari : a (costante), x (identità), x2 (quadrato), 1/x inversione, sin x , ex . Regole di derivazione : derivata della somma e del prodotto, derivata di una funzione composta. Conseguenze delle tre regole di derivazione : derivata di : a f(x) , cos x , 1/f(x) , f(x)/g(x) .

 

Piano di ripartizione del programma di informatica

Classe  2^R

A. Sc. 2003/2004 – 1° periodo quadrimestrale  (docente : Gaetano Speranza)

 

 

Introduzione alle operazioni basilari di gestione di un PC tramite il sistema Windows 98 / 2000 : Uso della tastiera e del mouse, il desktop, icone e finestre, cartelle e file e loro strutturazione ad albero (loro “indirizzi” espressi come “percorsi”), collegamenti a cartelle e a file, menu contestuali, memoria volatile (RAM), residente o non volatile (ROM e dischi rigidi), esterna (CD-ROM e floppy disk). Distinzione fra Hardware e Software.

 

1) CAD (Computer Aided Design):

   L’ambiente “Cabri-Géomètre” :

input grafici, strumenti primitivi e macro; dipendenza degli output dagli input durante l’interazione con l’utente.

 

2) Elementi di logica :

   Costanti booleane TRUE (VERO) e FALSE (FALSO). Congiunzione (AND, E), disgiunzione (OR, O), negazione (NOT, NON). Costanti e variabili. Funzioni o operatori e loro notazioni unidimensionali (prefisse, infisse, postfisse) e bidimensionali. Albero strutturale di un’espressione. Precedenza di un operatore rispetto ad un altro. Quantificatori universale ( " , “per ogni”, “qualunque sia”) ed esistenziale ( $ , “per qualche”, “esiste”).

 

3) CAS (Computer Algebra Systems):

-         L’ambiente “Derive” :

definizione (assegnazione di un valore) di variabili, definizione di funzioni tramite assegnazione di variabili dipendenti del tipo f(x). Assegnazioni vuote (dichiarazioni). Inserimento e valutazione di un’espressione. Distinzione fra uguaglianza definitiva ( := ) e uguaglianza predicativa ( = ) . Oggetti definiti (o derivati) costruiti a partire da oggetti (termini e funzioni) primitivi (o predefiniti). L’operatore condizionale “IF”. Definizioni ricorsive (l’esempio della moltiplicazione di numeri naturali). L’iterazione e i costrutti VECTOR, SELECT, ITERATE e ITERATES.

-         L’ambiente “MathView” :

definizione di regole di trasformazione per l’elaborazione simbolica e il “pattern matching”.

 

4) FOGLI ELETTRONICI  (Spreadsheets):

   L’ambiente “Excel” :

la struttura tabulare del foglio, celle dipendenti da altre celle tramite funzioni, trascinamento di celle, grafici in formato predefinito. L’operatore condizionale “SE” e il suo uso “nidificato”. L’uso prefisso dei connettivi  E  ed  O ;  le quantificazioni universale ed esistenziale come E  e  O  “globali” .

Piano di ripartizione del programma di matematica

Classe 2^R - A. Sc. 2003/2004 – 1° periodo quadrimestrale (docente : Gaetano Speranza)

 

 

 
Notazioni insiemistiche per elencazione o per proprietà caratteristica degli elementi. Simboli di appartenenza e non appartenenza. Richiami sul calcolo negli insiemi N (numeri naturali = numeri interi non negativi) , Z (numeri interi relativi) e Q (numeri razionali) . Interpretazione geometrica delle operazioni di addizione e moltiplicazione. Introduzione di una unità immaginaria e rappresentazione di punti come numeri complessi. Regola del parallelogramma. Assi, semiassi, semipiani e quadranti coordinati. Figure piane come grafici di relazioni. Trasformazioni nel piano cartesiano. Le due simmetrie assiali coordinate nel piano cartesiano: P=(x,y)® P^-=(x,-y) (coniugazione) e P=(x,y)®-P^-=(-x,y) (anticoniugazione). L’identità P=(x,y)®P=(x,y) e la simmetria centrale P=(x,y)® -P=(-x,-y) (opposizione o antiidentità). La simmetria rispetto alla bisettrice principale P=(x,y)® P*=(y,x) (inversione) e l’inversione di una funzione. Relazione inversa di una funzione e funzioni invertibili. Composizione di funzioni e in particolare di trasformazioni. Le rotazioni ortogonali fondamentali P = (x,y) ® P^{^} = (-y,x) (antioraria) e P = (x,y) ® -P^{^}=(y,-x) (oraria). L’ottagono associato ad un punto del piano cartesiano. Punti associati ad un punto dato e riduzione di un punto, distinto dall’origine, al primo quadrante e al primo ottante. Riduzione al primo quadrante e al primo ottante di semirette partenti dall’origine. Angoli come coppie di semirette uscenti dall’origine. Supplementarità, esplementarità, complementarità di angoli il cui primo lato è la semiretta 01. Concetto generale di funzione ed equazioni del tipo y=f(x), andamento di un fenomeno descritto da una sola variabile indipendente. Iniettività, surgettività, biunivocità. Grafici di equazioni, nella forma {(x,y): eq(x,y)}. Grafici di funzioni del tipo y=ax (proporzionalità dirette, rette passanti per l’origine). Grafici di funzioni del tipo y=ax+b (rette). Significato geometrico dei parametri a e b. La funzione quadratica y=x² . Equazioni di primo grado di tipo ax+b=o : loro risoluzione tramite applicazione in ordine inverso delle funzioni inverse di quelle con cui è ottenuta l’espressione al primo membro. Sistemi di primo grado con due equazioni e due incognite. Risoluzione grafica (rette e loro intersezioni). Retta per l’origine ortogonale ad una retta data e relazione fra le loro equazioni. Relazione di perpendicolarità fra rette e notazione r ^s. Grafici collegati per simmetria alla funzione di equazione y=f(x) : equazioni del tipo y=-f(x) , y=f(-x) , y=-f(-x). Grafici collegati per contrazione/dilatazione alla funzione di equazione y=f(x) : equazioni del tipo y=af(x), y=f(bx), y=af(bx). Applicazione alla modulazione di ampiezza e alla modulazione di fase. Punto medio fra due punti dati e relazioni con la media aritmetica (semisomma). Relazione di simmetricità di due punti P e Q rispetto ad una retta r (asse di simmetria) espressa tramite condizione sul punto medio ( (P+Q)/2 Î r ) e condizione di ortogonalità ( ret(P,Q) ^ r ). Determinazione algebrica del punto P₀=(c,0), del semiasse non negativo delle ascisse, simmetrico di un punto dato P=(a,b) rispetto ad un’opportuna retta per l’origine: formula pitagorica c=Ö(a²+b²) . Numeri irrazionali e insieme R. Insieme C dei numeri complessi. Bisezione dell’angolo P₀OP e determinazione del coefficiente angolare della retta bisettrice. Composizione di simmetrie assiali e traslazioni (isometrie). Isometrie dirette e inverse. Notazione per gli intervalli unidimensionali chiusi, aperti, semiaperti : [a,b] , ]a,b[ , ]a,b] [a,b[ . Grafici di disequazioni nella forma {(x,y): diseq(x,y)}. Disequazioni lineari e fratte. Effetto dell’introduzione del parametro a nelle funzioni quadratiche y=ax². Traslazione verticale ed equazioni del tipo y=f(x)+k. Traslazione orizzontale di una funzione di equazione y=f(x) ed equazioni del tipo y=f(x-h). Traslazione verticale di un grafico e parabole con equazione y=ax² + k . Traslazione orizzontale di un grafico e parabole con equazione y=a(x-h)² , con discussione del segno di h nel suo rapporto col tipo di traslazione orizzontale. Combinazione di traslazione orizzontale e di traslazione verticale e parabole di equazione del tipo y=a(x-h)² + k . Definizione del vertice della parabola di equazione y=a(x-h)² + k come punto V=(h,k). Riduzione della generica funzione y= ax²+bx+c alla forma y=a(x-h)²+k . Deduzione delle relazioni (equazioni del vertice della parabola) : h = -b/2a , k = -D /4a ( con D= b² - 4ac ). Intersezioni della parabola con l’asse delle ascisse e dipendenza della loro esistenza dal segno di D e dal segno di a . Risoluzione dell’equazione di secondo grado a x ² + b x + c = 0, scrivendola nella forma a ( x - h ) ² + k = 0. Disequazioni d 2° grado (metodo grafico). Proprietà fondamentali delle radici quadrate. Deduzione della formula generale risolutiva di un’equazione di secondo grado. Risoluzione semplificata di equazioni di secondo grado della forma ax² + c = 0 e della forma ax²+bx = 0 . Richiami sugli esponenti negativi e introduzione degli esponenti frazionari. Radici di indice n . Inversione a destra e a sinistra di un’operazione e applicazioni al caso della operazione di elevamento a potenza, che porta alle due operazioni inverse di logaritmo e di radice. Motivazione della definizione delle potenze ad esponente frazionario tramite il criterio di far corrispondere a somma di esponenti il prodotto delle relative potenze ( regola : x ^{y +z} = x ^y x ^z ). La funzione 2^x per valori interi e non interi della variabile x e il suo uso nella acustica musicale.

Calcolo con i radicali come applicazione della definizione delle potenze ad esponente razionale e delle regole :

x ^y x ^z = x ^{y +z} (prodotto di potenze con la stessa base), (x ^y) ^z = x ^{y z} (potenza di una potenza) , x^z y^z = (x y)^z (prodotto di potenze con lo stesso esponente). Radicali e razionalizzazione di denominatori.