Piano di ripartizione del programma di matematica

Classe 2^R - A. Sc. 2003/2004 – 1° periodo quadrimestrale (docente : Gaetano Speranza)

 

 

 
Notazioni insiemistiche per elencazione o per proprietà caratteristica degli elementi. Simboli di appartenenza e non appartenenza. Richiami sul calcolo negli insiemi N (numeri naturali = numeri interi non negativi) , Z (numeri interi relativi) e Q (numeri razionali) . Interpretazione geometrica delle operazioni di addizione e moltiplicazione. Introduzione di una unità immaginaria e rappresentazione di punti come numeri complessi. Regola del parallelogramma. Assi, semiassi, semipiani e quadranti coordinati. Figure piane come grafici di relazioni. Trasformazioni nel piano cartesiano. Le due simmetrie assiali coordinate nel piano cartesiano: P=(x,y)® P^-=(x,-y) (coniugazione) e P=(x,y)®-P^-=(-x,y) (anticoniugazione). L’identità P=(x,y)®P=(x,y) e la simmetria centrale P=(x,y)® -P=(-x,-y) (opposizione o antiidentità). La simmetria rispetto alla bisettrice principale P=(x,y)® P*=(y,x) (inversione) e l’inversione di una funzione. Relazione inversa di una funzione e funzioni invertibili. Composizione di funzioni e in particolare di trasformazioni. Le rotazioni ortogonali fondamentali P = (x,y) ® P^{^} = (-y,x) (antioraria) e P = (x,y) ® -P^{^}=(y,-x) (oraria). L’ottagono associato ad un punto del piano cartesiano. Punti associati ad un punto dato e riduzione di un punto, distinto dall’origine, al primo quadrante e al primo ottante. Riduzione al primo quadrante e al primo ottante di semirette partenti dall’origine. Angoli come coppie di semirette uscenti dall’origine. Supplementarità, esplementarità, complementarità di angoli il cui primo lato è la semiretta 01. Concetto generale di funzione ed equazioni del tipo y=f(x), andamento di un fenomeno descritto da una sola variabile indipendente. Iniettività, surgettività, biunivocità. Grafici di equazioni, nella forma {(x,y): eq(x,y)}. Grafici di funzioni del tipo y=ax (proporzionalità dirette, rette passanti per l’origine). Grafici di funzioni del tipo y=ax+b (rette). Significato geometrico dei parametri a e b. La funzione quadratica y=x² . Equazioni di primo grado di tipo ax+b=o : loro risoluzione tramite applicazione in ordine inverso delle funzioni inverse di quelle con cui è ottenuta l’espressione al primo membro. Sistemi di primo grado con due equazioni e due incognite. Risoluzione grafica (rette e loro intersezioni). Retta per l’origine ortogonale ad una retta data e relazione fra le loro equazioni. Relazione di perpendicolarità fra rette e notazione r ^s. Grafici collegati per simmetria alla funzione di equazione y=f(x) : equazioni del tipo y=-f(x) , y=f(-x) , y=-f(-x). Grafici collegati per contrazione/dilatazione alla funzione di equazione y=f(x) : equazioni del tipo y=af(x), y=f(bx), y=af(bx). Applicazione alla modulazione di ampiezza e alla modulazione di fase. Punto medio fra due punti dati e relazioni con la media aritmetica (semisomma). Relazione di simmetricità di due punti P e Q rispetto ad una retta r (asse di simmetria) espressa tramite condizione sul punto medio ( (P+Q)/2 Î r ) e condizione di ortogonalità ( ret(P,Q) ^ r ). Determinazione algebrica del punto P₀=(c,0), del semiasse non negativo delle ascisse, simmetrico di un punto dato P=(a,b) rispetto ad un’opportuna retta per l’origine: formula pitagorica c=Ö(a²+b²) . Numeri irrazionali e insieme R. Insieme C dei numeri complessi. Bisezione dell’angolo P₀OP e determinazione del coefficiente angolare della retta bisettrice. Composizione di simmetrie assiali e traslazioni (isometrie). Isometrie dirette e inverse. Notazione per gli intervalli unidimensionali chiusi, aperti, semiaperti : [a,b] , ]a,b[ , ]a,b] [a,b[ . Grafici di disequazioni nella forma {(x,y): diseq(x,y)}. Disequazioni lineari e fratte. Effetto dell’introduzione del parametro a nelle funzioni quadratiche y=ax². Traslazione verticale ed equazioni del tipo y=f(x)+k. Traslazione orizzontale di una funzione di equazione y=f(x) ed equazioni del tipo y=f(x-h). Traslazione verticale di un grafico e parabole con equazione y=ax² + k . Traslazione orizzontale di un grafico e parabole con equazione y=a(x-h)² , con discussione del segno di h nel suo rapporto col tipo di traslazione orizzontale. Combinazione di traslazione orizzontale e di traslazione verticale e parabole di equazione del tipo y=a(x-h)² + k . Definizione del vertice della parabola di equazione y=a(x-h)² + k come punto V=(h,k). Riduzione della generica funzione y= ax²+bx+c alla forma y=a(x-h)²+k . Deduzione delle relazioni (equazioni del vertice della parabola) : h = -b/2a , k = -D /4a ( con D= b² - 4ac ). Intersezioni della parabola con l’asse delle ascisse e dipendenza della loro esistenza dal segno di D e dal segno di a . Risoluzione dell’equazione di secondo grado a x ² + b x + c = 0, scrivendola nella forma a ( x - h ) ² + k = 0. Disequazioni d 2° grado (metodo grafico). Proprietà fondamentali delle radici quadrate. Deduzione della formula generale risolutiva di un’equazione di secondo grado. Risoluzione semplificata di equazioni di secondo grado della forma ax² + c = 0 e della forma ax²+bx = 0 . Richiami sugli esponenti negativi e introduzione degli esponenti frazionari. Radici di indice n . Inversione a destra e a sinistra di un’operazione e applicazioni al caso della operazione di elevamento a potenza, che porta alle due operazioni inverse di logaritmo e di radice. Motivazione della definizione delle potenze ad esponente frazionario tramite il criterio di far corrispondere a somma di esponenti il prodotto delle relative potenze ( regola : x ^{y +z} = x ^y x ^z ). La funzione 2^x per valori interi e non interi della variabile x e il suo uso nella acustica musicale.

Calcolo con i radicali come applicazione della definizione delle potenze ad esponente razionale e delle regole :

x ^y x ^z = x ^{y +z} (prodotto di potenze con la stessa base), (x ^y) ^z = x ^{y z} (potenza di una potenza) , x^z y^z = (x y)^z (prodotto di potenze con lo stesso esponente). Radicali e razionalizzazione di denominatori.