La curva blu è la funzione esponenziale in base a , quindi f : x -> ax , ossia f = {(x,y) : y=ax }, mentre la curva rossa è la funzione g ottenuta per stiramento orizzontale di fattore c , ossia l'ascissa di ogni coppia costituente f è moltiplicata per il fattore c , per cui g = {(cx,y) : y=ax } = {(x',y) : y=ax'/c }, ossia, ponendo k=1/c, g : x -> akx .
Nella figura l'ascissa variabile x è l'ascissa del punto d (mobile col mouse) e m=(x,g(x)) e h=(kx,f(kx)).
Quando x=1 si ha m=(1,ak) e h=(k,f(k))=(k,ak) . Si pone il problema: la funzione g , che passa per (0,1) e per (1,ak), è l'esponenziale in base ak ?
La risposta positiva, che equivale a dire che g(x)=(ak)x , ossia equivale all'uguaglianza (scritta nel titolo) akx=(ak)x , è mostrabile in figura portando il punto b sull'asse delle ordinate (o anche leggermente alla sua destra), il che fa trasformare la curva blu nella funzione esponenziale x -> bx , e portando b a coincidere con ak (che è l'ordinata di m o di h quando d ha ascissa 1).
venerdì 17 giugno 2005
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Per (di)mostrare teoricamente che la funzione g:x->a^(kx) è l'esponenziale in base a^k basta notare che g(0)=1 e g(1)=a^k e che g porta somme in prodotti, ossia che g(x+x')=g(x)g(x') tenendo presente che l'esponenziale in base a^k è l'unica funzione (continua) con tali dette tre proprietà.
RispondiEliminaPoi, se uno vuole una prova meno elegante quanto più "scolastica", si puo' sempre verificare l'uguaglianza a^(kx)=(a^k)^x per valori razionali di k e di x ed estenderne la validità a tutto R per prolungamento continuo... E' pur sempre un buon esercizio di manipolazione di frazioni, potenze e radic(al)i.
vedi la seguente
RispondiEliminapagina