esponenziale di un prodotto :     a^kx = (a^k)^x

 La curva blu è la funzione esponenziale in base  a , quindi  f : x -> a^x ,  ossia  f = {(x,y) :  y=a^x }, mentre la curva rossa è la funzione  g  ottenuta per stiramento orizzontale di fattore  c  , ossia l'ascissa di ogni coppia costituente  f  è moltiplicata per il fattore  c ,  per cui  g =  {(cx,y) :  y=a^x } = {(x',y) :  y=a^x'/c }, ossia, ponendo  k=1/c,   g : x -> a^kx .
Nella figura l'ascissa variabile  x  è l'ascissa del punto d (mobile col mouse) e  m=(x,g(x))  e  h=(kx,f(kx)).
 Quando  x=1  si ha  m=(1,a^k)  e   h=(k,f(k))=(k,a^k) . Si pone il problema: la funzione  g , che passa per (0,1) e per (1,a^k), è l'esponenziale in base a^k ?
 La risposta positiva, che equivale a dire che  g(x)=(a^k)^x , ossia equivale all'uguaglianza (scritta nel titolo)  a^kx=(a^k)^x , è mostrabile in figura portando il punto b sull'asse delle ordinate (o anche leggermente alla sua destra), il che fa trasformare la curva blu nella funzione esponenziale  x -> b^x ,  e portando  b  a coincidere con a^k  (che è l'ordinata di  m  o di  h  quando  d  ha ascissa 1).