Le otto isometrie piane fondamentali

A seconda della posizione del punto commutatore c,   la trasformazione che porta  f=a  in  g  è : l'identità (o rotazione nulla):  ( ax , ay )  ->  ( ax , ay ) la anti-coniugazione (o simmetria rispetto all'asse delle ordinate):                                           ( ax , ay )  ->  ( - ax , ay ) la opposizione (o rotazione di un semipiano): ( ax , ay )  ->  ( - ax , - ay ) la coniugazione (o simmetria rispetto all'asse delle ascisse):                                           ( ax , ay )  ->  ( ax , - ay )

A seconda della posizione del punto commutatore c,    la trasformazione che porta  f=a  in  h  è : l'inversione (o simmetria rispetto alla bisettrice di 1° e 3° quadrante):                                           ( ax , ay )  ->  ( ay , ax ) la ortogonalità antioraria (o rotazione antioraria di un quadrante):                                           ( ax , ay )  ->  ( - ay , ax ) la anti-inversione (o simmetria rispetto alla bisettrice di 2° e  4° quadrante):                          ( ax , ay )  ->  ( - ay , - ax ) la ortogonalità oraria (o rotazione oraria di un quadrante, o anche rotazione antioraria di tre quadranti):  ( ax , ay )  ->  ( ay , - ax )

Notiamo come si ottengono quattro simmetrie assiali e quattro rotazioni.  Queste otto trasformazioni non modificano la distanza dall'origine (porta  il punto  d  sopra l'asse delle ascisse)  e perciò vengono dette  isometrie .     Vedi anche  le isometrie e il caleidoscopio  e  http://w3.romascuola.net/gspes/pgc/8_isometrie.html