Il numero di nepero e l'esponenziale naturale

Nella figura vedi in verde la retta passante per (0,1) di pendenza  m

tale retta ha equazione y=m·x+1, ossia è l'insieme { (x,y) : y=m·x+1 }.

Muovendo in orizzontale  c  si sposta  m  sull'asse delle ascisse

e di conseguenza si modifica la pendenza della retta verde, che è appunto m.

Sulla retta verde varia un punto k, la cui ascissa è l'ascissa del punto d.

Muovendo in orizzontale  d  muovi anche  k = ( dx , m · dx + 1 ).

La curva in blu e l'esponenziale passante, oltre che per (0,1), per il punto k.

Avvicinando sempre di più  d  a  0, il punto  k  tende al punto  (0,1)

e corrispondentemente la curva blu tende a una curva limite ben precisa.

Nota che quando  d  coincide esattamente con  0  tale curva scompare.

Infatti la curva blu è l'esponenziale di base  (m · dx + 1)1/dx

e quando dx=0 tale numero non esiste (la base tende a 1 e l'esponente a  ± ¥ )

però quando dx "tende" a  0  la quantità  (m·dx+1)1/dx  "tende" a un numero

indichiamo tale numero, dipendente da  m, con  exp(m) e poniamo e=exp(1).

Il numero   e   è detto numero di Nepero  ( o di Eulero ).

Nella figura porta d  quasi sullo  0  in modo che il valore  dx  sia quasi nullo

e vedrai visualizzato con i segmenti verticali rossi il valore di exp(m)

e quindi quando m=1 i segmenti verticali rossi misurano e (numero di Nepero).

Nella figura riporta (se lo avessi spostato)  m  al valore 1 (muovendo c)

nota il punto  n = ( m , exp(m) ), che adesso che  m=1  vale  ( 1 , e )

poi digita il tasto  "p"  sulla tastiera per attivare il plottaggio

e quindi fai variare  m  su tutta la parte visibile dell'asse delle ascisse

vedrai che il punto  n  descrive una curva grigia e che tale curva è  y=ex

infatti quando  m=1 la curva grigia coincide con l'esponenziale in base exp(m)

Pertanto concludiamo che al variare di  m  il punto  n  sta sulla curva y=ex

il che vuol dire che ( m , exp(m) ) sta sulla curva y=ex, ossia  exp(m)=em.

Pertanto l'esponenziale avente "pendenza" m nel punto (0,1) è  y=(em)x=emx.