Il numero di nepero e l'esponenziale naturale |
Nella figura vedi in verde la retta passante per (0,1) di pendenza m |
tale retta ha equazione y=m·x+1, ossia è l'insieme { (x,y) : y=m·x+1 }. |
Muovendo in orizzontale c si sposta m sull'asse delle ascisse |
e di conseguenza si modifica la pendenza della retta verde, che è appunto m. |
Sulla retta verde varia un punto k, la cui ascissa è l'ascissa del punto d. |
Muovendo in orizzontale d muovi anche k = ( dx , m · dx + 1 ). |
La curva in blu e l'esponenziale passante, oltre che per (0,1), per il punto k. |
Avvicinando sempre di più d a 0, il punto k tende al punto (0,1) |
e corrispondentemente la curva blu tende a una curva limite ben precisa. |
Nota che quando d coincide esattamente con 0 tale curva scompare. |
Infatti la curva blu è l'esponenziale di base (m · dx + 1)1/dx |
e quando dx=0 tale numero non esiste (la base tende a 1 e l'esponente a ± ¥ ) |
però quando dx "tende" a 0 la quantità (m·dx+1)1/dx "tende" a un numero |
indichiamo tale numero, dipendente da m, con exp(m) e poniamo e=exp(1). |
Il numero e è detto numero di Nepero ( o di Eulero ). |
Nella figura porta d quasi sullo 0 in modo che il valore dx sia quasi nullo |
e vedrai visualizzato con i segmenti verticali rossi il valore di exp(m) |
e quindi quando m=1 i segmenti verticali rossi misurano e (numero di Nepero). |
Nella figura riporta (se lo avessi spostato) m al valore 1 (muovendo c) |
nota il punto n = ( m , exp(m) ), che adesso che m=1 vale ( 1 , e ) |
poi digita il tasto "p" sulla tastiera per attivare il plottaggio |
e quindi fai variare m su tutta la parte visibile dell'asse delle ascisse |
vedrai che il punto n descrive una curva grigia e che tale curva è y=ex |
infatti quando m=1 la curva grigia coincide con l'esponenziale in base exp(m) |
Pertanto concludiamo che al variare di m il punto n sta sulla curva y=ex |
il che vuol dire che ( m , exp(m) ) sta sulla curva y=ex, ossia exp(m)=em. |
Pertanto l'esponenziale avente "pendenza" m nel punto (0,1) è y=(em)x=emx. |
lunedì 10 ottobre 2005
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