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Una osservazione aggiuntiva sulle funzioni a incrementi proporzionali

Dalla proprietà di f(x+p) - f(x) = g(p) di esser costante rispetto alla x ricaviamo una importante proprietà per la funzione degli incrementi g : g(p+p')=f(p+p')-f(0)=f(p+p')-f(p)+f(p)-f(0)=g(p')+g(p)=g(p)+g(p') ossia: la funzione g è "additiva", cioè porta somme in somme. Ciò comporta che g(nx)=ng(x), per ogni n intero positivo, il che a sua volta comporta che: g(1) = g(n 1/n) = n g(1/n) ossia che: g(1/n) = g(1) / n Pertanto: g(m/n) = m g(1/n) = m ( g(1) / n ) = g(1) m/n per ogni numero razionale positivo m/n ( ossia g(x) = g(1) x per ogni x razionale positivo ) Inoltre, dalla uguaglianza g(p)=g(p+0)=g(p)+g(0) ricaviamo: g(0) = 0 (quindi vale g(x)=g(1)x anche con x=0) E quindi dalla uguaglianza: 0 = g(0) = g(p+(-p)) = g(p) + g(-p) ricaviamo: g(-p) = - g(p) Pertanto la precedente formula g(x)=g(1)x vale anche con -x al posto di x, ossia per i numeri razionali negativi. In conclusione: se g è definita sui razionali ed è additiva, si ha che g(x)=kx , con k = g(1) ossia g è una proporzionalità diretta con coefficiente di proporzionalità g(1). Una funzione definita sui razionali e additiva è detta anche "funzione lineare di variabile razionale". La funzione g degli incrementi di una funzione f a incrementi proporzionali è un esempio di tale tipo di funzione . *** L'usuale definizione di proporzionalità diretta definisce come tale una funzione g tale che : g(nx) = n g(x) (con n=2,3,4,... , ma ovviamente anche per n=1). Tale proprietà comporta, se g è definita su tutti i razionali positivi, che si abbia: g(1) = g(n 1/n) = n g(1/n) ossia: g(1/n) = g(1) / n pertanto si ha: g(m/n) = m g(1) / n = g(1) m/n per tutti i razionali positivi m/n. Quindi una g definita sui razionali positivi con la proprietà data all'inizio di "estraibilità del coefficiente" (e questa è in effetti la proprietà di "linearità") deve avere equazione : g(x) = g(1) x L'estensione di tale formula anche ai razionali non positivi (quindi allo zero e ai razionali negativi) conduce al tipo di funzione di cui sopra si è trattato. Pertanto quella che qui è chiamata "proporzionalità diretta" (in base alla proprietà di additività) non è altro che l'estensione a tutto il dominio razionale di un'usuale proporzionalità diretta definita solo sui razionali positivi.