| il "decalogo" della moltiplicazione fra numeri complessi |
| Puoi muovere col mouse i numeri complessi a e b. Il prodotto a*b è f . |
| il piano nelle figure può essere traslato col mouse tenendo premuto il tasto CONTROL (Ctrl) |
1) prendiamo in esame l'esempio: 3*b = (1+1+1)*b = b+b+b (ad ogni 1 si sostituisce b) |
| 2) sappiamo che l'ortogonale (antiorario) di z=x+yi è ort(z)=-y+xi, in particolare ort(1) = i |
| 3) procediamo come in 1) con: (3+2i)*b=(1+1+1+ort(1)+ort(1))*b=b+b+b+ort(b)+ort(b) |
| 4) si "induce" la definizione: a*b = (p+qi)*b = p b + q ort(b) = Re(a) b + Im(a) ort(b) |
| 5) se b = x+yi , si ha: a*b = (p+qi)*(x+yi) = p(x+yi) + q(-y+xi) = (px-qy) + (py+qx)i |
| 6) graficamente, moltiplicare a per b significa "rotodilatare" a così come 1 si "rotodilata" in b |
| 7) la "dilatazione" può essere anche "contrazione", a seconda di quanto b "dista" da 0 |
| 8) conj(b)=Re(b)-Im(b)i è il "coniugato" di b ossia il simmetrico di b rispetto all'asse reale |
| 9) b "dista" da 0 quanto 1 da 0 quando la stessa rotodilatazione porta 1 in b e conj(b) in 1 |
| 10) per visualizzare 9) porta a in conj(b); in tal caso, se b dista 1 da 0, f=a*b=conj(b)*b=1 |
| per comodità si è posto a=conj(b), quindi b dista 1 da 0 quando f=conj(b)*b=1 |
martedì 30 novembre 1999
il "decalogo" ...
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Questa impostazione geometrica della moltiplicazione fra numeri complessi permette di giungere rapidamente all'uso di questa operazione nelle trasformazioni geometriche.
RispondiEliminaCome si vede confrontando questa tabella con quella delle rotazioni, le formule che reggono la moltiplicazione sono le stesse di quelle di rotazione, che, se si prescinde dalla relazione pitagorica (conseguenza della proprietà di rigidità), in effetti forniscono una rotodilatazione.
Le rotodilatazioni sono anche chiamate (con termine misto latino-greco) "roto-omotetie"
("rota"=ruota, "omotetia"=stessa disposizione)
Il punto b di questa figura, nel caso sia posto a distanza unitaria dall'origine 0, ha lo stesso ruolo del punto f della figura riguardante le rotazioni.
RispondiEliminaQui il punto di test è a (nella figura sulle rotazioni è d; il punto che lì è indicato con n è quello che nel contesto della moltiplicazione è f=a*b).