ancóra sull'esponenziale naturale

clicca sul pulsante :

prendiamo un punto a = ( ax , ay ) = ( h , k ) "vicino" al punto (0,1)

suddividiamo l'asse delle ascisse con i punti n h (con n interi)

indichiamo con Zh l'insieme dei numeri della suddetta suddivisione

ipotizziamo che una funzione f definita su Zh sia tale che :

f( 0 ) = 1 ; f( h ) = k ; f( x+h ) = f( x ) k , per ogni x in Zh

a parole: f passa per (0,1) e (h,k) e all'incrementare la x di h f(x) viene moltiplicata per k

ne deriva che f( n h ) = k n . Posto x = n h , si ha f( x ) = k x / h .

Poniamo 1 + p = ay = k : si ha f( x ) = [ (1 + p) 1 / h ] x

quindi f è l'esponenziale di base (1+p) 1 / h .

Se avviciniamo il punto a al punto (0,1) l'esponenziale f varia secondo il tipo di avvicinamento di a al punto (0,1) e "intorno" a (0,1)   f   diventa "instabile" .

Proviamo a far tendere a al punto (0,1) con a sulla retta y = 1+x

Ciò significa che ay = 1 + ax , ossia k = 1 + h .

in tal caso si ha f( x ) = [ (1 + h) 1 / h ] x e ...

... se prendiamo h = 1/n otteniamo (1 + h) 1/h = (1 + 1/n) n

Quando h tende a 0, a, vincolato alla retta, tende a (0,1) ...

... e f( x ) tende a e x ; il segmento verticale in figura è (1,0)_(1,e)

Cosa accade se l'avvicinamento è effettuato sulla retta y=1+m x ?