il processo di  antiderivazione

In figura è rappresentata la funzione seno: g=sin. In corrispondenza all'ascissa x=ax si considera l'ordinata sin x  e quindi il punto h=(x, sin x). Successivamente si conduce dal punto (0, sin x) il segmento verso il punto (-1,0). Tale segmento ha pendenza pari al valore di sin x. Pertanto una antiderivata (o, con altro termine più utilizzato: primitiva) della funzione seno deve avere nel punto di ascissa x=ax pendenza pari a quella del suddetto segmento e quindi, in corrispondenza ad un incremento molto piccolo dx dell'ascissa riceve un incremento dell'ordinata pari al cateto verticale del triangolino grigio in figura (di ipotenusa congiungente  a  con  f ). Tale avanzamento è pari a  (sin x)· dx .  Muovendo il punto c sotto l'asse delle ascisse vedrai visualizzato il rettangolo avente tale prodotto come area. Pertanto una funzione approssimante tale primitiva, partendo da un punto di ascissa e ordinata fissata (a piacere), muovendosi di n passi dx in orizzontale in corrispondenza incrementerà l'ordinata della somma delle aree di rettangoli come il precedente (premi il pulsante Step per avanzare di un numero n di passi a piacere, dopo aver regolato il dx desiderato; ricorda che la pressione sulla barra spaziatrice equivale al clic sul pulsante Step, che per ritornare all'inizio va cliccato il pulsante Clear, e infine che per plottare la traccia va selezionata la opzione Plot). Indicando con α  l'ascissa iniziale  ax , con  δ  il passo dx  e con  Fδ la funzione approssimante la primitiva, si ha:                                Fδ(α+nδ) - Fδ(α) =  Σ k=0...n-1 g(α+kδ)· δ . In tutto questo processo siamo partiti dallo scegliere all'inizio il passo δ=dx di avanzamento orizzontale. Se invece (vedi la figura sotto) partiamo da un valore  x=β  dell'ascissa in cui valutare la funzione approssimante la primitiva e da un numero  n (da scegliere nella figura aprendo la finestra Details) in cui dividere  β-α , otteniamo  δ=(β-α)/n  e, posto  fn=Fδ  e  xk=α+kδ , abbiamo:                              fn(β) - fn(α) = Σ k=0...n-1 g(xk)· δ = Σ k=0...n-1  g(xk) · ( xk+1 - xk ) e per l'effettiva primitiva  F :                              F(β) - F(α) =  lim n -> ∞   Σ k=0...n-1  g(xk) · ( xk+1 - xk ) . Tale limite è l'area con segno del  trapezoide  della funzione  g  esteso da α  a β , ossia l'integrale definito della funzione  g   esteso da  a   α   β : Int( g , α , β ) =  ∫ β α g( x ) dx

in questa figura il valore iniziale dell'ascissa è  m (ossia  α=m è il valore iniziale, attualmente pari a -0.4, di ax); il valore di n va fissato nella finestra Details, ed è pari inizialmente a 10; il punto k descrive la funzione fn , estesa da  α=m  a  β=bx . L'ascissa iniziale di  a  deve essere pari esattamente a m, che, come detto, è pari a -0.4 (ma può essere modificato al pari di n in Details, avendo l'accortezza di porre il nuovo valore anche nella casella dell'ascissa di  a).