il morfismo additivo-moltiplicativo esponenziale

In figura   a ,  b   e   c    possono essere mossi col mouse

La funzione rappresentata in figura è f(x)=ax , con a>0 ; illustriamo geometricamente la proprietà  f(b+c) = f(b)·f(c), ossia:     ab+c = ab · ac  . Si riporta l'ordinata di  h=(b,f(b)) parallelamente all'asse delle ascisse fino ad incontrare la retta verticale  x=1. Si ottiene (1,f(b)), e per tale punto si conduce la retta passante per l'origine, di equazione y=f(b)·x D'altra parte si riporta il punto k=(c,f(c)) sull'asse delle ordinate, ottenendo il punto (0,f(c)) e si riporta questo sul punto (f(c),0) dell'asse delle ascisse  tramite la retta parallela al segmento congiungente (1,0) con (0,1). Dal punto (f(c),0) trovato si sale in verticale fino ad incontrare la retta per l'origine determinata prima nel punto  (f(c),f(b)·f(c)) . Infine si riporta quest'ultimo punto all'ascissa n=b+c, determinando così il punto m=(n,f(b)·f(c))=(b+c,f(b)·f(c))=(b+c,f(b+c)), che sta su  f .

Tale costruzione nel caso  b=1 permette di costruire f(x) con x=0,1,2,3,...

clicca sulla figura e poi premi più volte la barra spaziatrice ( premi il tasto  c  per ritornare al punto iniziale )

Si parte da  x=0 ,  k=(x,f(x))=(0,f(0))=(0,1) e  m=(x+1,f(x+1))=(1,f(1))=(1,a)=h e ad ogni pressione della barra spaziatrice si passa  da  x  a  n=x+1 ;   dopo la prima pressione si ha:  k=(1,f(1))=h  e  m=(2,f(2))=(2,f(1)2); dopo la seconda:  k=(2,f(2))  e  m=(3,f(3))=(3,f(2)f(1))=(3,f(1)3), ecc...

Spostando il punto  d  fino a dargli ascissa, ad esempio, 2, si passa ad avanzamenti non più di 1, bensì di 1/2, dividendo quindi l'asse delle ascisse in tratti di 1/2 e partendo da  h=(1/2,f(1/2))=(1/2,a1/2).

Spostando il punto  d  fino a dargli ascissa, ad esempio, 3, si passa ad avanzamenti non più di 1, bensì di 1/3, dividendo quindi l'asse delle ascisse in tratti di 1/3 e partendo da h=(1/3,f(1/3))=(1/3,a1/3).

e così via ...  (quindi  d  determina in quante parti dividere l'unità)