Recupero programma di terzo livello

 

Concetto di operazione su un insieme, intesa come processo che porta da uno o più input ad un output. Operazioni ad un input (operatori) e a due input (operazione in senso stretto) e diagrammi rappresentativi input-processo-output. Distinzione fra sintassi (gestione delle espressioni simboliche) e semantica (interpretazione – o significato – delle espressioni simboliche) di una teoria matematica. Prima formalizzazione della struttura matematica dello spazio tramite un insieme S dotato di un elemento 0 (origine o zero) e di una operazione (addizione) commutativa, associativa, con elemento neutro 0 e simmetrizzabile (nozione di “opposto”), interpretata graficamente tramite la “regola del parallelogramma”. Unicità dell’opposto e operatore “-“ di opposizione; definizione dell’operazione di sottrazione tramite la regola definitoria x-y := x+(-y), con diagramma di tale definizione. Interpretazione geometrica dell’opposizione (simmetria rispetto a 0) e della sottrazione (seconda diagonale del parallelogramma). Interpretazione degli elementi di S oltre che come punti anche come “vettori”. Concetto di funzione come trasformazione o passaggio da un dato a un risultato e interpretazione dell’addizione (con un addendo fissato) come traslazione. Aggiunta alla struttura (S, 0, +) di un sottoinsieme R⁺ (insieme dei numeri reali positivi) di S, interpretato graficamente come una semiretta. Simbolo di appartenenza e definizione della relazione di ordine “<” (“minore”) tramite la regola definitoria ( x := ( y-x Î R⁺) . Definizione della relazione di ordine “>” (“maggiore”), inversa della precedente. Simbolo di disgiunzione OR e introduzione delle altre due relazioni di ordine, “minore o uguale” e “maggiore o uguale”.

Simbolo di congiunzione AND e introduzione delle proprietà di base di R⁺ basate sulla relazione “minore”: chiusura rispetto all’operazione di addizione, densità, tricotomia, continuità (quest’ultima per cenni intuitivi). Semiretta dei numeri reali negativi. Simbolo di unione e definizione dell’asse reale R come unione delle semirette positiva e negativa con l’aggiunta di 0. Introduzione di un altro elemento privilegiato oltre allo zero: l’unità (1). Numeri naturali (N), interi relativi (Z). Multipli di un elemento di S, con coefficienti in N e più in generale in Z. Frazionabilità di 1, intesa come divisibilità di 1 per un qualunque numero naturale non nullo e simbolo di divisione “/”. Impossibilità della divisione 1/0. Definizione delle frazioni tramite la regola m/n := m(1/n). Insieme Q dei numeri razionali. Nozione di “inverso”, contrapposta a quella di “opposto”. Esistenza di altri numeri in R oltre agli elementi di Q (ossia di numeri non razionali, ovvero “irrazionali”). Moltiplicazione di un elemento qualunque (moltiplicando) di S con coefficiente (moltiplicatore) razionale, con interpretazione geometrica. Cenno alla generalizzazione del multiplo al caso di coefficiente reale qualunque. Genesi, basata su moltiplicazione e addizione (quest’ultima per traslare), dei concetti di segmento (moltiplicatore compreso fra 0 e 1), semiretta (moltiplicatore positivo o non negativo), retta (moltiplicatore arbitrario). Formula a + (b-a) t come generatrice di tali figure al variare del parametro t. Combinazioni lineari di due elementi di S. Aggiunta di un terzo elemento privilegiato in S, l’unità immaginaria i. Interpretazione grafica “ortonormale” (ossia ortogonale e monometrica) e “antioraria” della terna (0, 1, i). L’insieme dei numeri complessi C, generato dalle combinazioni lineari di 1 (unità reale) e i (unità immaginaria). Simmetria rispetto all’asse reale e numeri complessi coniugati. Opposizione e simmetria centrale (rispetto all’origine). Simmetria rispetto all’asse immaginario. Parte reale e operatore Re( ) ; coefficiente della parte immaginaria e operatore Im( ) . Scambio di Re(z) con Im(z) e simmetria rispetto alla bisettrice di 1° e 3° quadrante. Ortogonali antiorario e orario di un numero complesso. Uso privilegiato dell’operatore ort( ) che fornisce l’ortogonale antiorario. Moltiplicazione di due numeri complessi basata sul cambiamento di riferimento da (0,1,i) a (0,z,ort(z)), dove z è il moltiplicando. Espressione algebrica della moltiplicazione e relazione fondamentale frale due unità: i² = -1. Interpretazione della moltiplicazione (con moltiplicando fisso z, ossia “moltiplicazione per z”) come rotodilatazione che trasforma 1 in z. Condizione affinché una rotodilatazione per z sia una rotazione: il coniugato di z viene trasformato in 1 dalla moltiplicazione per z ; numeri complessi unitari (lunghi come l’unità). Modulo di un numero complesso e sua relazione pitagorica con le componenti del numero stesso. Esempi di uso delle operazioni di addizione e moltiplicazione in C (e del modulo) per la grafica computerizzata.