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Approssimazione tramite riga (ovvero tramite parallelismo)
della funzione esponenziale passante per il punto   a

Premi ripetutamente il pulsante Step oppure la barra spaziatrice
e muovi il punto d per orientare la generazione della funzione da uno dei due lati.
Spostando in orizzontale b puoi visualizzare o meno la funzione esponenziale da approssimare.
L'ascissa del punto a determina il passo di approssimazione.

Error: Cannot run the Java applet.

---

Muovi in orizzontale il punto cursore c verso destra o verso sinistra
per orientare la generazione della funzione dalla parte di a o da quella opposta
(quanto più c dista dall'asse delle ordinate tanti più punti si generano).
Spostando in orizzontale b puoi visualizzare o meno la funzione esponenziale da approssimare.
L'ascissa del punto a determina il passo di approssimazione.

Error: Cannot run the Java applet.

---

Approssimazione tramite riga (ovvero tramite parallelismo)
della funzione esponenziale naturale

Viene generata la funzione esponenziale passante per il punto (h,k), con k=1+h.
Il punto d riduce il valore di h (più l'ascissa di d è grande più h è piccolo).
Muovi in orizzontale il punto cursore c verso destra o verso sinistra
(quanto più c dista dall'asse delle ordinate tanti più punti si generano).
Spostando in orizzontale b puoi visualizzare o meno la funzione exp.

Error: Cannot run the Java applet.

sull' integrazione grafica

il processo di  antiderivazione

In figura è rappresentata la funzione seno: g=sin. In corrispondenza all'ascissa x=ax si considera l'ordinata sin x  e quindi il punto h=(x, sin x). Successivamente si conduce dal punto (0, sin x) il segmento verso il punto (-1,0). Tale segmento ha pendenza pari al valore di sin x. Pertanto una antiderivata (o, con altro termine più utilizzato: primitiva) della funzione seno deve avere nel punto di ascissa x=ax pendenza pari a quella del suddetto segmento e quindi, in corrispondenza ad un incremento molto piccolo dx dell'ascissa riceve un incremento dell'ordinata pari al cateto verticale del triangolino grigio in figura (di ipotenusa congiungente  a  con  f ). Tale avanzamento è pari a  (sin x)· dx .  Muovendo il punto c sotto l'asse delle ascisse vedrai visualizzato il rettangolo avente tale prodotto come area. Pertanto una funzione approssimante tale primitiva, partendo da un punto di ascissa e ordinata fissata (a piacere), muovendosi di n passi dx in orizzontale in corrispondenza incrementerà l'ordinata della somma delle aree di rettangoli come il precedente (premi il pulsante Step per avanzare di un numero n di passi a piacere, dopo aver regolato il dx desiderato; ricorda che la pressione sulla barra spaziatrice equivale al clic sul pulsante Step, che per ritornare all'inizio va cliccato il pulsante Clear, e infine che per plottare la traccia va selezionata la opzione Plot). Indicando con α  l'ascissa iniziale  ax , con  δ  il passo dx  e con  Fδ la funzione approssimante la primitiva, si ha:                                Fδ(α+nδ) - Fδ(α) =  Σ k=0...n-1 g(α+kδ)· δ . In tutto questo processo siamo partiti dallo scegliere all'inizio il passo δ=dx di avanzamento orizzontale. Se invece (vedi la figura sotto) partiamo da un valore  x=β  dell'ascissa in cui valutare la funzione approssimante la primitiva e da un numero  n (da scegliere nella figura aprendo la finestra Details) in cui dividere  β-α , otteniamo  δ=(β-α)/n  e, posto  fn=Fδ  e  xk=α+kδ , abbiamo:                              fn(β) - fn(α) = Σ k=0...n-1 g(xk)· δ = Σ k=0...n-1  g(xk) · ( xk+1 - xk ) e per l'effettiva primitiva  F :                              F(β) - F(α) =  lim n -> ∞   Σ k=0...n-1  g(xk) · ( xk+1 - xk ) . Tale limite è l'area con segno del  trapezoide  della funzione  g  esteso da α  a β , ossia l'integrale definito della funzione  g   esteso da  a   α   β : Int( g , α , β ) =  ∫ β α g( x ) dx

in questa figura il valore iniziale dell'ascissa è  m (ossia  α=m è il valore iniziale, attualmente pari a -0.4, di ax); il valore di n va fissato nella finestra Details, ed è pari inizialmente a 10; il punto k descrive la funzione fn , estesa da  α=m  a  β=bx . L'ascissa iniziale di  a  deve essere pari esattamente a m, che, come detto, è pari a -0.4 (ma può essere modificato al pari di n in Details, avendo l'accortezza di porre il nuovo valore anche nella casella dell'ascissa di  a).

derivazione e plurirettangoli (teorema fondamentale del calcolo)

La funzione in blu è l'approssimazione della funzione seno fra a e b con una poligonale ottenuta congiungendo punti del grafico della funzione seno scelti con ascisse che si susseguono a intervalli uguali, di ampiezza diciamo Δx, fra a e b. Aumentando l'ascissa del punto d aumenta la densità di tale insieme di punti. Muovendo fra ascissa 0 e ascissa 1 il punto di controllo c, si muove il vertice mobile m sulla suddetta poligonale e viene disegnato il triangolo verde che caratterizza la salita dal vertice m al vertice successivo, quindi si espande tale triangolo verde in un triangolo simile, in colore viola, avente cateto orizzontale unitario, che riporta la pendenza di tale salita (da m al vertice successivo) come ordinata corrispondente all'ascissa di m sul grafico "a scala" rosso. Pertanto la funzione rossa a scala rappresenta il grafico delle pendenze della poligonale relative agli intervallini di base Δx. La funzione a scala crea dei rettangoli ognuno dei quali ha area pari alla base Δx moltiplicata per l'altezza misurata sul grafico rosso (che può essere positiva o negativa), ovvero moltiplicata per la pendenza della salita a partire da m; pertanto tale area rappresenta esattamente la salita nel triangolino verde (nota che l'area è positiva se la salita è positiva ed è negativa se la salita è negativa). Si verifica perciò che la somma delle salite lungo i triangoli verdi, pari in totale alla differenza sin b - sin a (tale salita nella posizione iniziale di a e b in figura è nulla, ma puoi modificare col mouse sia a sia b), coincide con la somma delle aree dei rettangoli aventi i lati rossi. Facendo tendere a infinito il numero dei punti di suddivisione, la funzione rossa tende a diventare la derivata della funzione blu, e si verifica così graficamente che la differenza sin b - sin a è pari all'area compresa fra la derivata della funzione seno (che è il coseno) e l'asse delle ascisse (valutata a partire aall'ascissa a fino ad arrivare all'ascissa b (area che viene chiamata "integrale indefinito della funzione coseno esteso da a a b").