il processo di  antiderivazione

In figura è rappresentata la funzione seno: g=sin. In corrispondenza all'ascissa x=ax si considera l'ordinata sin x  e quindi il punto h=(x, sin x). Successivamente si conduce dal punto (0, sin x) il segmento verso il punto (-1,0). Tale segmento ha pendenza pari al valore di sin x. Pertanto una antiderivata (o, con altro termine più utilizzato: primitiva) della funzione seno deve avere nel punto di ascissa x=ax pendenza pari a quella del suddetto segmento e quindi, in corrispondenza ad un incremento molto piccolo dx dell'ascissa riceve un incremento dell'ordinata pari al cateto verticale del triangolino grigio in figura (di ipotenusa congiungente  a  con  f ). Tale avanzamento è pari a  (sin x)· dx .  Muovendo il punto c sotto l'asse delle ascisse vedrai visualizzato il rettangolo avente tale prodotto come area. Pertanto una funzione approssimante tale primitiva, partendo da un punto di ascissa e ordinata fissata (a piacere), muovendosi di n passi dx in orizzontale in corrispondenza incrementerà l'ordinata della somma delle aree di rettangoli come il precedente (premi il pulsante Step per avanzare di un numero n di passi a piacere, dopo aver regolato il dx desiderato; ricorda che la pressione sulla barra spaziatrice equivale al clic sul pulsante Step, che per ritornare all'inizio va cliccato il pulsante Clear, e infine che per plottare la traccia va selezionata la opzione Plot). Indicando con α  l'ascissa iniziale  ax , con  δ  il passo dx  e con  Fδ la funzione approssimante la primitiva, si ha:                                Fδ(α+nδ) - Fδ(α) =  Σ k=0...n-1 g(α+kδ)· δ . In tutto questo processo siamo partiti dallo scegliere all'inizio il passo δ=dx di avanzamento orizzontale. Se invece (vedi la figura sotto) partiamo da un valore  x=β  dell'ascissa in cui valutare la funzione approssimante la primitiva e da un numero  n (da scegliere nella figura aprendo la finestra Details) in cui dividere  β-α , otteniamo  δ=(β-α)/n  e, posto  fn=Fδ  e  xk=α+kδ , abbiamo:                              fn(β) - fn(α) = Σ k=0...n-1 g(xk)· δ = Σ k=0...n-1  g(xk) · ( xk+1 - xk ) e per l'effettiva primitiva  F :                              F(β) - F(α) =  lim n -> ∞   Σ k=0...n-1  g(xk) · ( xk+1 - xk ) . Tale limite è l'area con segno del  trapezoide  della funzione  g  esteso da α  a β , ossia l'integrale definito della funzione  g   esteso da  a   α   β : Int( g , α , β ) =  ∫ β α g( x ) dx

in questa figura il valore iniziale dell'ascissa è  m (ossia  α=m è il valore iniziale, attualmente pari a -0.4, di ax); il valore di n va fissato nella finestra Details, ed è pari inizialmente a 10; il punto k descrive la funzione fn , estesa da  α=m  a  β=bx . L'ascissa iniziale di  a  deve essere pari esattamente a m, che, come detto, è pari a -0.4 (ma può essere modificato al pari di n in Details, avendo l'accortezza di porre il nuovo valore anche nella casella dell'ascissa di  a).

derivazione e plurirettangoli (teorema fondamentale del calcolo)

La funzione in blu è l'approssimazione della funzione seno fra a e b con una poligonale ottenuta congiungendo punti del grafico della funzione seno scelti con ascisse che si susseguono a intervalli uguali, di ampiezza diciamo Δx, fra a e b. Aumentando l'ascissa del punto d aumenta la densità di tale insieme di punti. Muovendo fra ascissa 0 e ascissa 1 il punto di controllo c, si muove il vertice mobile m sulla suddetta poligonale e viene disegnato il triangolo verde che caratterizza la salita dal vertice m al vertice successivo, quindi si espande tale triangolo verde in un triangolo simile, in colore viola, avente cateto orizzontale unitario, che riporta la pendenza di tale salita (da m al vertice successivo) come ordinata corrispondente all'ascissa di m sul grafico "a scala" rosso. Pertanto la funzione rossa a scala rappresenta il grafico delle pendenze della poligonale relative agli intervallini di base Δx. La funzione a scala crea dei rettangoli ognuno dei quali ha area pari alla base Δx moltiplicata per l'altezza misurata sul grafico rosso (che può essere positiva o negativa), ovvero moltiplicata per la pendenza della salita a partire da m; pertanto tale area rappresenta esattamente la salita nel triangolino verde (nota che l'area è positiva se la salita è positiva ed è negativa se la salita è negativa). Si verifica perciò che la somma delle salite lungo i triangoli verdi, pari in totale alla differenza sin b - sin a (tale salita nella posizione iniziale di a e b in figura è nulla, ma puoi modificare col mouse sia a sia b), coincide con la somma delle aree dei rettangoli aventi i lati rossi. Facendo tendere a infinito il numero dei punti di suddivisione, la funzione rossa tende a diventare la derivata della funzione blu, e si verifica così graficamente che la differenza sin b - sin a è pari all'area compresa fra la derivata della funzione seno (che è il coseno) e l'asse delle ascisse (valutata a partire aall'ascissa a fino ad arrivare all'ascissa b (area che viene chiamata "integrale indefinito della funzione coseno esteso da a a b").

la derivazione grafica di una funzione

ripasso di matematica (per tutti e cinque i livelli)
enciclopedia della matematica

la circonferenza goniometrica  (classe quarta)

programmazione didattica per i cinque livelli

il piano cartesiano

simulazione cinematica

approssimazione della funzione arcocoseno

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verifica con Google  (con h = 0.5   e   n = 1 000 000 000)

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approssimazione della funzione arcoseno

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verifica con Google  (con h = 0.5   e   n = 1 000 000 000)

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approssimazione della funzione arcotangente

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verifica con Google  (con h = 3   e   n = 1 000 000 000)

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http://www.mathsnet.net/dynamic/car/index.html

http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/java/zirkel/JavaWebStart/RunCar.html

Approssimazione di π (pi-greco) con il metodo di Archimede
implementato con l'uso dei numeri complessi




























Approssimazione di π·i con il metodo di Archimede
implementato con l'uso dei numeri complessi

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calcola con Google (con n=100)       calcola con Google (con n=100000)       calcola π con Google

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Approssimazione di π (pi-greco) con il metodo di Viète
implementato con l'uso dei numeri complessi

Programma di matematica di 2° livello

Notazioni insiemistiche per elencazione o per proprietà caratteristica degli elementi. Simboli di appartenenza e non appartenenza. Richiami sul calcolo negli insiemi N (numeri naturali = numeri interi non negativi), Z (numeri interi relativi) e Q (numeri razionali). Interpretazione geometrica delle operazioni di addizione (regola del parallelogramma) e moltiplicazione (regola dei triangoli simili, o di Talete). Introduzione di una unità immaginaria e rappresentazione di punti come numeri complessi. Riferimento cartesiano (0,1,i) e notazione cartesiana tramite ascissa e ordinata.           Trasformazioni isometriche di base nel piano cartesiano. Le due simmetrie assiali coordinate nel piano cartesiano:      P=(x,y)  ->  P-=(x,-y)   (coniugazione)      P=(x,y)  ->  -P-=(-x,y)  (coniugazione opposta, o anticoniugazione). L’identità:     P=(x,y)  ->  P=(x,y)    e la simmetria  centrale:      P=(x,y)  ->    -P=(-x,-y)  (opposizione). Le simmetrie rispetto alle bisettrici principale e secondaria:     P=(x,y)  ->  (y,x)     (inversione delle coordinate)     P=(x,y)  ->  (-y,-x)   (inversione delle coordinate e opposizione, o antiinversione). Le rotazioni ortogonali fondamentali:     P = (x,y)   ->   P^ = (-y,x)  (antioraria)      P = (x,y)   ->  -P^=(y,-x)    (oraria). Grafici di funzioni del tipo y=mx (proporzionalità dirette, rette passanti per l’origine). Grafici di funzioni del tipo y=mx+n (rette). Significato geometrico dei parametri m e n. Equazioni di primo grado di tipo mx+n=0. Disequazioni di 1° grado e loro interpretazione geometrica nel piano cartesiano. La funzione quadratica y=x2. Effetto dell’introduzione del parametro  m  nelle funzioni quadratiche y=mx2. Traslazione verticale del grafico di  y=mx2 ed equazioni del tipo y=mx2+n. Traslazione orizzontale del grafico di  y=mx2 ed equazioni del tipo y=m(x-k)2, con discussione del segno di k nel suo rapporto col tipo di traslazione orizzontale. Combinazione di traslazione orizzontale e di traslazione verticale e parabole di equazione del tipo y=m(x-k)2 + n . Definizione del vertice della parabola di equazione y=m(x-k)2+n come punto V=(k,n). Riduzione della generica funzione y= ax2+bx+c alla forma y=m(x-k)2+n . Deduzione delle relazioni (equazioni del vertice della parabola):                                    k=-b/2a ,   n= c - b2/4a .    Intersezioni della parabola con l’asse delle ascisse. Risoluzione dell’equazione di secondo grado a x 2 + b x + c = 0, scrivendola nella forma m(x - k)2 + n = 0. Formula risolutiva generale dell’equazione a x 2 + b x + c = 0. Disequazioni di 2° grado studiate tramite parabola. Materiali di studio :  insiemi, numeri, operazioni:  http://www.itg-rondani.it/dida/Matem/ipermonica/insiemi/index.htm  http://www.itg-rondani.it/dida/Matem/ipermonica/numeri/index.htm  http://w3.romascuola.net/gspes/operazioni.html  numeri, piano, rette: http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/2a.html                                     http://w3.romascuola.net/gspes/pgc/8-isometrie.html  parabola ed equazioni di 2° grado:             http://www.informatematica.splinder.com/1074612501#1255781

Un'osservazione sulle primitive di funzioni potenze
(classi quinte)

http://w3.romascuola.net/gspes/materiali/esponenziale.pdf
(sintesi schematica sull'esponenziale naturale   e la formula di Eulero)