La formula di Eulero   

 

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Punti e numeri (dall'esperienza geometrica all'aritmetica e all'algebra)

cambiamento di base (sistema di riferimento), omotetie e moltiplicazione di punti del piano (moltiplicazione di numeri complessi)

Ogni punto  p  della stella verde, che ha coordinate (x,y)  rispetto alla base  1  e  i=ort(1), ha un corrispondente  p'  nella stella viola con le stesse coordinate (x,y) ma rispetto alla base  a  e  n=ort(a); puoi muovere  a   per cambiare la base ( a , n )  e il centro  d  per cambiare la posizione della stella verde; inoltre puoi muovere  b=f  (inizialmente pari a 1)   e vedere come varia   g = ba ( le coordinate che  b  ha rispetto a  1   le ha   ba   rispetto ad  a ). Prova a portare il punto  b  sulla stella verde e nota come g = ba   sta nel corrispondente punto dell'altra stella.

triangoli omotetici

Nella figura di sopra puoi spostare con il mouse i vertici del triangolo  bcd  e scegliere (sempre con il mouse) il punto  a  che produce l'omotetia, e quindi il triangolo omotetico di vertici ba, ca, da. Inoltre, tramite pressioni sulla la barra spaziatrice della tastiera (ricorda di selezionare prima la figura con un clic sopra di essa), si fa variare il punto  h  sul triangolo bcd e in corrispondenza il punto k=ha percorre il triangolo omotetico.

 

numeri unitari

Nella figura vedi un punto  a  (mobile col mouse) e il suo coniugato k=conj(a). Il triangolo di vertici   0, ax , a (quello con due lati blu) può essere sottoposto a cambiamento di scala: muovendo il punto c lo vedi in azzurro e in scala c, ossia il triangolo azzurro ha vertici  0·c=0,  ax·c, a·c. Quando c=k il triangolo è realizzato in scala k ed è quello con due lati rossi, con vertici  0, ax·k, a·k. Come puoi notare, il vertice a·k sta sempre sul semiasse destro delle ascisse. Puoi anche osservare, muovendo a col mouse, come i triangoli blu e rosso hanno in genere fra di loro differenti dimensioni, pur restando sempre di uguale forma (ossia simili). Infatti quello rosso è realizzato sostituendo la scala dell'unità con quella di k. Essi assumono le stesse dimensioni quando il lato congiungente  0 con k assume le stesse dimensioni del segmento congiungente 0 con 1; e in tal caso anche a (che ha k come coniugato) dista 1 da 0. In una qualunque di tali configurazioni (che puoi più facilmente realizzare portando d al di sopra dell'asse delle ascisse e poi portando a sulla circonferenza verde che appare) si ha che i lati  0_k, 0_a·k, 0_a  hanno tutti uguale dimensione, pari a 1 e in particolare a·k, che è sul semiasse destro dell'asse orizzontale, coincide proprio con 1. Quindi l'uguale dimensione dei triangoli blu e rosso si realizza quando a·k=1, ossia quando (ax,ay)(ax,-ay)=1, ossia  ax2 + ay2 = 1. I numeri a aventi tale proprietà sono detti unitari e il loro insieme (la circonferenza verde) è detto circonferenza unitaria (o goniometrica).

Brevemente possiamo dare la seguente definizione:   " un numero  a  è detto  unitario  se valutato nella scala del proprio coniugato vale 1, ossia se   a · conj(a) = 1 ". Una definizione alternativa potrebbe essere la seguente altra:   " un numero  a  è detto  unitario  se rispetto ad esso (ossia in scala  a) il suo coniugato vale 1, ossia se   conj(a) · a = 1 ". Ciò corrisponde a partire dal triangolo rosso invece che da quello blu, il che è realizzato nella seguente

 

Le otto isometrie piane fondamentali

A seconda della posizione del punto commutatore c,   la trasformazione che porta  f=a  in  g  è : l'identità (o rotazione nulla):  ( ax , ay )  ->  ( ax , ay ) la anti-coniugazione (o simmetria rispetto all'asse delle ordinate):                                           ( ax , ay )  ->  ( - ax , ay ) la opposizione (o rotazione di un semipiano): ( ax , ay )  ->  ( - ax , - ay ) la coniugazione (o simmetria rispetto all'asse delle ascisse):                                           ( ax , ay )  ->  ( ax , - ay )

A seconda della posizione del punto commutatore c,    la trasformazione che porta  f=a  in  h  è : l'inversione (o simmetria rispetto alla bisettrice di 1° e 3° quadrante):                                           ( ax , ay )  ->  ( ay , ax ) la ortogonalità antioraria (o rotazione antioraria di un quadrante):                                           ( ax , ay )  ->  ( - ay , ax ) la anti-inversione (o simmetria rispetto alla bisettrice di 2° e  4° quadrante):                          ( ax , ay )  ->  ( - ay , - ax ) la ortogonalità oraria (o rotazione oraria di un quadrante, o anche rotazione antioraria di tre quadranti):  ( ax , ay )  ->  ( ay , - ax )

Notiamo come si ottengono quattro simmetrie assiali e quattro rotazioni.  Queste otto trasformazioni non modificano la distanza dall'origine (porta  il punto  d  sopra l'asse delle ascisse)  e perciò vengono dette  isometrie .     Vedi anche  le isometrie e il caleidoscopio  e  http://w3.romascuola.net/gspes/pgc/8_isometrie.html

Il numero di nepero e l'esponenziale naturale

Nella figura vedi in verde la retta passante per (0,1) di pendenza  m

tale retta ha equazione y=m·x+1, ossia è l'insieme { (x,y) : y=m·x+1 }.

Muovendo in orizzontale  c  si sposta  m  sull'asse delle ascisse

e di conseguenza si modifica la pendenza della retta verde, che è appunto m.

Sulla retta verde varia un punto k, la cui ascissa è l'ascissa del punto d.

Muovendo in orizzontale  d  muovi anche  k = ( dx , m · dx + 1 ).

La curva in blu e l'esponenziale passante, oltre che per (0,1), per il punto k.

Avvicinando sempre di più  d  a  0, il punto  k  tende al punto  (0,1)

e corrispondentemente la curva blu tende a una curva limite ben precisa.

Nota che quando  d  coincide esattamente con  0  tale curva scompare.

Infatti la curva blu è l'esponenziale di base  (m · dx + 1)1/dx

e quando dx=0 tale numero non esiste (la base tende a 1 e l'esponente a  ± ¥ )

però quando dx "tende" a  0  la quantità  (m·dx+1)1/dx  "tende" a un numero

indichiamo tale numero, dipendente da  m, con  exp(m) e poniamo e=exp(1).

Il numero   e   è detto numero di Nepero  ( o di Eulero ).

Nella figura porta d  quasi sullo  0  in modo che il valore  dx  sia quasi nullo

e vedrai visualizzato con i segmenti verticali rossi il valore di exp(m)

e quindi quando m=1 i segmenti verticali rossi misurano e (numero di Nepero).

Nella figura riporta (se lo avessi spostato)  m  al valore 1 (muovendo c)

nota il punto  n = ( m , exp(m) ), che adesso che  m=1  vale  ( 1 , e )

poi digita il tasto  "p"  sulla tastiera per attivare il plottaggio

e quindi fai variare  m  su tutta la parte visibile dell'asse delle ascisse

vedrai che il punto  n  descrive una curva grigia e che tale curva è  y=ex

infatti quando  m=1 la curva grigia coincide con l'esponenziale in base exp(m)

Pertanto concludiamo che al variare di  m  il punto  n  sta sulla curva y=ex

il che vuol dire che ( m , exp(m) ) sta sulla curva y=ex, ossia  exp(m)=em.

Pertanto l'esponenziale avente "pendenza" m nel punto (0,1) è  y=(em)x=emx.

 

Per usare sul tuo computer l'applicazione PGC scarica i seguenti file:

pgc.jar  ,    pgc.htm    e   comandi_pgc.html 

( attenzione: alcune versioni di Internet Explorer salvano l'ultimo file in formato "htm" invece di "html" ;
in tal caso, modifica tu stesso, dopo lo scaricamento, l'estensione  .htm  trasformandola in  .html )

mettili tutti e tre in una stessa cartella del tuo computer.

Potrai attivare l'applicazione cliccando due volte sul file pgc.htm di tale cartella.

Collegato a   PGC   è   PUG  (Parametrical URL Graphics)

mappa matematica di base

funzioni elementari

    buone vacanze  

 

  Un altro esempio di formula scritta usando solo le tabelle nel codice HTML  

a  1/(n·n')   =   n·n'  a    =   n'  n  a    =   (a 1/n ) 1/n'