Funzioni a...

Funzioni a incrementi lineari (o direttamente proporzionali)

Sia f una funzione definita su tutti i numeri razionali e siano h e k due di tali numeri

si dice incremento (o differenza) della variabile dipendente y=f(x) da x=h a x=k il valore f(k)-f(h) , mentre k-h è detto incremento della variabile indipendente x nel passaggio da x=h a x=k

la funzione f è detta "a incrementi lineari" (al posto di "incrementi" si può usare il termine "differenze" e al posto di "lineari" la locuzione "direttamente proporzionali") se a incrementi uguali della variabile indipendente corrispondono incrementi uguali della variabile dipendente, ossia se l'incremento della variabile dipendente è lo stesso in corrispondenza di due incrementi uguali della variabile indipendente

in formula : f(x+p) - f(x) = f(x'+p) - f(x') , per ogni scelta di x , x' , p ( linearità degli incrementi ); gli incrementi della variabile indipendente da x a x+p e da x' a x'+p sono uguali a p ; un modo alternativo di esprimere questa formula è l'affermazione che l'espressione f(x+p) - f(x) dipende da p e non da x ossia scrivere l'uguaglianza : f(x+p) - f(x) = g(p) , dove g(p) è una funzione della variabile "incrementale" p (la funzione g è detta "funzione incrementale" ricavata da f con valore iniziale x dato alla variabile indipendente, oppure semplicemente " funzione incrementale di f in x " )

proveremo che per ogni numero razionale x si ha: f(x) = a x + b , con a = f(1) - f(0) e b = f(0)

dividiamo l'intervallo di base fra x=0 e x=1 in n parti uguali, realizzando n incrementi ognuno di 1/n a partire da x=0, cui corrispondono altrettanti incrementi della variabile dipendente tutti uguali fra di loro (clicca sulla figura qui sotto e poi premi la barra spaziatrice tante volte fino a quando non hai ottenuto il valore desiderato di n (che all'inizio è pari a 1); per tornare allo stato iniziale digita la lettera c ( = "clear"), inoltre per spostare la figura usa il tasto destro del mouse ; agendo su a=f(1)-f(0) e su b=f(0) si modifica la funzione f ; muovendo d in orizzontale (oppure agendo sulle frecce di spostamento laterale dalla tastiera) si sposta il punto iniziale h dell'incremento p=k-h=1/n ). Infine coi tasti + e - si agisce sulla scala della intera figura.

agli incrementi di 1/n sulle ascisse corrisponde sempre lo stesso incremento q sulle ordinate

in formule : f(1/n)-f(0)=q , f(2/n)-f(1/n)=q , ... , f(1)-f(1-1/n)=q , ... , f(m/n) - f(m/n - 1/n) = q , ecc ...

sommando membro a membro le prime n (corrispondenti alla suddivisione in figura) di tali uguaglianze, e semplificando i termini opposti presenti nella prima di tali somme otteniamo: f(1)-f(0) = nq, ossia a=nq (ricordiamo che abbiamo posto a=f(1)-f(0) ), ovvero troviamo il valore di q, che è : q = a/n

Quindi: f(1/n)-f(0)=a/n , f(2/n)-f(1/n)=a/n , ... , f(1)-f(1-1/n)=a/n , ... , f(m/n) - f(m/n - 1/n) = a/n

dalle precedenti uguaglianze, usando dalla seconda in poi l'uguaglianza immediatamente precedente e ricordando che abbiamo posto b=f(0), otteniamo: f(1/n)=a/n+f(0)=a/n+b , f(2/n)=a/n+f(1/n)=2a/n+b, ... , f(1) = a/n + f(1-1/n) = n a/n + b , ... , f(m/n) = a/n + f(m/n-1/n) = m a/n + b = a m/n + b , ossia per ogni x razionale espresso come m/n , con m numero intero non negativo, si ha : f(x) = a x + b

se -x è il numero razionale negativo opposto a quello generico positivo per cui abbiamo visto che vale l'uguaglianza f(x)=ax+b, per la proprietà della linearità degli incrementi si ha: f(0) - f(-x) = f(x) - f(0) , quindi f(-x) = -f(x) + 2 f(0) = -(ax+b) + 2b = -ax - b + 2b = -ax + b = a (-x) + b , ossia continua a valere la espressione f(x)=ax+b anche con -x al posto di x .

la dicitura "a incrementi lineari" trae origine dal fatto che, indipendentemente da quale sia x, si ha: g(p)=f(x+p)-f(x)=a(x+p)+b-ax-b=ap , ossia la funzione incrementale della f in x è lineare, ossia è una proporzionalità diretta (la stessa per tutti i valori iniziali x della variabile indipendente)

In conclusione: ogni funzione a incrementi lineari ha per equazione l'equazione di una retta non verticale

E' possibile sc...

E' possibile scaricare materiale su windows, word, excel, derive, cabri, pascal al seguente indirizzo http://provincia.milano.it/scuole/vittorioveneto/sito_definitivo/classi/schede_classi/informatica.htm

clicca sul...

clicca sul seguente pulsante : (puoi spostare il quadro col tasto destro)

all'inizio viene evidenziata la parabola 0.5(x-1)2 + 2

il "coefficiente di forma" della parabola è 1/2=0.5 , indichiamolo con f

il "vertice" della parabola è (1 , 2) , indichiamolo con d = (h , k) = h+ki = h+m =1+2i

muovendo in orizzontale col mouse il punto di input a modifichi f = ax

muovendo col mouse il punto di input d modifichi il vertice d = (dx , dy)

la parabola di equazione y = f (x-h)2 è traslata di h della parabola y = f x2

h = dx è detto "spostamento orizzontale" (infatti è un numero reale)

per traslare la parabola y=f(x-h)2 in verticale di k si aggiunge ki=m a ogni punto

e così si ottiene l'equazione y = f (x-h)2 + k , parabola y = f x2 traslata di d=(h,k).

Supponiamo adesso di avere da graficare la equazione y = a x 2 + b x + c

determiniamo f , h e k in modo che a x 2 + b x + c = f (x-h)2 + k

si ha : a x 2 + b x + c = f (x-h)2 + k = f x 2 - 2 f h x + f h 2 + k

l'uguaglianza si realizza quando : a = f , b = - 2 f h , c = f h 2 + k

ossia : b = - 2 a h ( quindi h = -b/2a ) e c = a h 2 + k ( quindi k = c- a h 2 )

troviamo quindi : f = a , h = -b/2a , k = c- a h 2 = c - a (-b/2a)2 = c - b2 / 4a

quindi il vertice è d = (h , k) = ( -b / 2a , c - b2 / 4a ) (coordinate del vertice)

pertanto y=ax2+bx+c ha per grafico la parabola di forma y=ax2 ma con vertice d

( nota che il parametro a dell'equazione è solo l'ascissa del punto a della figura )

se vogliamo risolvere l'equazione ax2+bx+c=0 , scriviamola come f (x-h)2 + k = 0

ricaviamo (x-h)2 = -k/f quindi x-h = ±Ö(-k/f), ossia x = h ±Ö(-k/f)

esprimendo f, h, k tramite a, b, c otteniamo la formula risolutiva x=(-b±Ö(b2-4ac))/2a

di solito si pone D = b2-4ac (detto "delta" o "discriminante" dell'equazione di 2° grado)

Riassumendo: l'equazione  a x 2 + b x + c = 0   ha soluzioni x = ( -b ± ÖD ) / 2a

Parabola e circonfer...

Parabola e circonferenza  (classe seconda)

costruzione della parabola unitaria ( y = x2 ) mediante moltiplicazione grafica

nella figura muovendo col mouse il punto a   si modifica il punto k sull'asse delle ascisse

si trasporta k = (k,0) sull'asse delle ordinate e si costruiscono così i punti (0,k) e (1,k)

si traccia la retta passante per l'origine e per il punto (1,k), tale retta ha equazione y=kx

su tale retta si individua il punto di ascissa x = k, tale punto è m = ( k , kk ) = ( k , k2 )

al variare di k sull'asse delle ascisse (a tal fine muovi a) il punto m descrive la parabola

 

costruzione della circonferenza unitaria tramite la parabola unitaria

 

 

in questa pagina si ...

in questa pagina si possono (fra le altre cose) trovare (in inglese):

• gli "Elementi" di Euclide corredati di applets interattive ;


• costruzioni geometriche con riga e compasso (sempre con applets) ;


• un'introduzione alla trigonometria (neanche a dirlo, anche qui, con applets) ;


• un'esposizione (tradizionale) dei numeri complessi (vedi qui sotto a "commenti") ;


• storia della matematica ;


• i "23 problemi" di Hilbert ;


• frattali, caleidoscopi, ecc...

UNITA' &nbsp...

UNITA'   FANTA-IMMAGINARIA

Cosa accade se l'unità immaginaria  i  non "sta" dove di consueto

nella seguente     c  è l'unità immaginaria  ( ossia  i )

h e k sono la parte reale e il coefficiente della parte immaginaria di b

n è l'ortogonale di a  (n come "normale", sinonimo di "ortogonale")

la circonferenza goniometrica (centro 0 e raggio 1) è in colore blu

m è il prodotto ab (prova a scegliere col mouse vari valori di a e di b)

puoi spostare il centro della circonferenza spostando da 0 il punto d

puoi aumentare il raggio della circonferenza con la barra spaziatrice

puoi tornare al raggio 1 digitando C (="clear")  dalla tastiera

puoi spostare tutta la figura trascinandola col tasto destro del mouse

puoi ingrandire o rimpicciolire tutta la figura con i tasti  +  e  -

muovendo c visualizzi cosa accade quando  i  viene posta in  c

conclusione: uno stesso sistema algebrico descrive più situazioni

&...

...

Error: Cannot run the Java applet. ( per i numeri immaginari )

muovendo b si modifica la lunghezza del segmento verticale (all'inizio pari a 3.14)

muovendo a si modifica  la grandezza del numero naturale f (all'inizio f=6)

indicata con t l'ordinata di b, si ha : m = 1 + i t ,  g = 1 + i t / f ,  k = ( 1 + i t / f )f

la funzione esponenziale viene definita come exp(x) := lim f®¥ ( 1 + x / f )f

al tendere di f all'infinito, k tende a exp(it) , che è il punto della circonferenza goniometrica estremo insieme a 1 di un arco di lunghezza t (avvolgimento di t)

a seconda del segno di t l'avvolgimento avviene in senso antiorario oppure orario

 

 

Somma di...

bordercolorlight="#00FFFF">Somma di angoli :  con  c  scegli   FACE="Symbol">a   e con  b scegli  b .

bordercolorlight="#00FFFF"> code="PGC.class" width="60" height="30" archive="PGC.jar" align="absmiddle">

bordercolorlight="#00FFFF">la somma di a e b   è per definizione la loro composizione :

bordercolorlight="#00FFFF">   ( a + FACE="Symbol"> b ) ( x , y )   :=    b ( a( x , y ) )

bordercolorlight="#00FFFF">Nella figura il punto  d   può essere spostato col mouse e si ha :    ( a + FACE="Symbol"> b ) ( d )  =  b ( a( d ) ) = FACE="Symbol">b ( n ) = m

bordercolorlight="#00FFFF">ricordando che a(1) =(cos FACE="Symbol">a , sin a) , b(1) =(cos b , sin b) e le formule di rotazione, si ha : ( a + b )( 1 )   =  b ( a( 1 ) ) = b(cos a,sin FACE="Symbol">a) = (cos a)(cos b,sin b) + (sin a)(-sin b,cos b)     Quindi :   cos (a + FACE="Symbol"> b) = cos a cos b - sin a sin b sin (a + b) = cos FACE="Symbol">a sin b + sin a cos b

il "decalogo" ...

il "decalogo" della moltiplicazione fra numeri complessi

Puoi muovere col mouse i numeri complessi a e b. Il prodotto a*b è f .

il piano nelle figure può essere traslato col mouse tenendo premuto il tasto CONTROL (Ctrl)

1) prendiamo in esame l'esempio: 3*b = (1+1+1)*b = b+b+b (ad ogni 1 si sostituisce b)

2) sappiamo che l'ortogonale (antiorario) di z=x+yi è ort(z)=-y+xi, in particolare ort(1) = i

3) procediamo come in 1) con: (3+2i)*b=(1+1+1+ort(1)+ort(1))*b=b+b+b+ort(b)+ort(b)

4) si "induce" la definizione: a*b = (p+qi)*b = p b + q ort(b) = Re(a) b + Im(a) ort(b)

5) se b = x+yi , si ha: a*b = (p+qi)*(x+yi) = p(x+yi) + q(-y+xi) = (px-qy) + (py+qx)i

6) graficamente, moltiplicare a per b significa "rotodilatare" a così come 1 si "rotodilata" in b

7) la "dilatazione" può essere anche "contrazione", a seconda di quanto b "dista" da 0

8) conj(b)=Re(b)-Im(b)i è il "coniugato" di b ossia il simmetrico di b rispetto all'asse reale

9) b "dista" da 0 quanto 1 da 0 quando la stessa rotodilatazione porta 1 in b e conj(b) in 1

10) per visualizzare 9) porta a in conj(b); in tal caso, se b dista 1 da 0, f=a*b=conj(b)*b=1

per comodità si è posto a=conj(b), quindi b dista 1 da 0 quando f=conj(b)*b=1

Rotazioni into...

Rotazioni intorno all'origine 0 (angoli) : muovi c per scegliere l'angolo

una rotazione a intorno all'origine (angolo) porta 1 in a(1)=(a,b)=f

proprietà 1) a( i ) = a( 0 , 1 ) = ( -b , a ) = g (ortogonalità)

proprietà 2) a( d ) = a( x , y ) = a( x 1 + y i ) = x f + y g = n                             (conservazione delle coordinate)

proprietà 3) a( h ) = a( a , -b ) = 1       (rigidità)

p r i m e    c o n s e g u e n z e
(x', y') = a(x,y) = x a(1) + y a(i) = x(a,b) + y(-b,a) = ( xa-yb , xb+ya ) (rotazione)
( 1 , 0 ) = a( a , -b ) = ( a2 + b2 , 0 ) ,   quindi a2 + b2 = 1 (relazione pitagorica)
cos a := a   (definizione di coseno)	sin a := b   (definizione di seno)
G := C1 := { (a,b) : a2 + b2 = 1 }       (circonferenza goniometrica)
c = ( p , q ) = t f ,   f Î G ,   t ³ 0    Þ   t = | c | := Ö( p2 + q2 )       (modulo)
( 1 , m ) = | ( 1 , m ) | a(1) Þ cos a ¹ 0 , m = tg a := sin a / cos a (tangente)

 

 

 

 

 

 

 

un interessante sito-miniera