La formula di Eulero per i numeri immaginari

l'applet anima al crescere del numero naturale n la poligonale avente per vertici i punti (1+it/n)^k, con k da 0 a n, per cui l'ultimo vertice è (1+it/n)ⁿ, espressione che tende a exp(it)=e^it . Il valore di t può essere modificato col mouse.
L'animazione sul parametro n è molto lenta, per cui può convenire scaricare la figura cabri (doppio clic sull'applet e, dalla barra che appare inferiormente, selazionare "scarica la figura" - ultimo pulsante) e lavorare diettamente da Cabri-Géomètre.

Per scaricare direttamente la figura "zippata", clicca qui

la moltiplicazione fra numeri complessi

un problema sul prodotto di tre numeri complessi

Caleidoscopio Java

muovi il punto p che si muoverà lasciando la sua traccia insieme a tutti i suoi associati colorati.

applet cabri-java :

rette, pendenza e quota

rette e simmetrie

la radice quadrata di 2 (senza l'uso del teorema di Pitagora)

la radice quadrata e i teoremi di Euclide

il modulo di un numero complesso e il teorema (analitico) di Pitagora

simmetrie assiali

guida di Cabri-Géomètre e di MathView

alla mia pagina:

...

questo sono io ...

in tempo di dispute su simboli religiosi ...

Densità, continuità, divisibilità

Densità : dati x e y in R tali che x<y, esiste un z in R tale che  x<z  e  z <y  (in breve : x<z<y ).   Ciò deriva dall’assioma:    x ∈ R+  ⇒  ∃ x’∈ R+  x-x’∈ R+ .   Infatti, preso  x’ in modo che x’>0 e  x’<y-x , si ha  x<x+x’<y . Conseguenze : Teorema (di subdimezzabilità o subdivisibilità binaria) :   dato x>0, esiste y>0 tale che       2y=y+y<x .    dimostrazione:  preso  z>0 tale che z<x (l’esistenza di un tale z è postulata dall’assioma precedente), se anche 2z<x si prende y=z, altrimenti si prende y<x-z (infatti da 2z ≥ x segue  x-z ≤  z  e quindi  2x-z ≤ x+z , quindi 2(x-z)=2x-2z ≤ x) Teorema (di subdivisibilità) :   dato n numero naturale non nullo e dato x>0, esiste y>0 tale che    ny < x .   dimostrazione: si procede per induzione su n. Se n=1 l’asserto coincide con l’assioma di densità. Supposto che esista y>0 tale che ny<x ,  dalla subdimezzabilità segue l’esistenza di un y’>0 tale che 2y’<y ,  per cui si ha:   (n+1)y’ ≤ 2ny’ < ny < x .

Continuità    Definizioni : 1) dati A e B sottoinsiemi di R si dice che A precede B (scrivendo A<<B) se A e B sono non vuoti e ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B.   (In particolare ne segue che A e B sono disgiunti) 2) intervalli :   [a,b] := {x : a ≤ x ≤ b} ,                      ]a,b] := {x : a < x ≤ b} ,                      [a,b[ := {x : a ≤ x < b}  ,                      ]a,b[ := {x : a < x < b} ,     semirette :  [a , ∞ [ := {x : a ≤ x } ,  ]a , ∞ [ := {x : a < x } (illimitate superiormente) ;                     ]-∞ , a] := {x : x ≤ a } , ]-∞ , a[ := {x : x < a } (illimitate inferiormente) . 3) un sottoinsieme A di R è detto “collocato inferiormente” se precede il suo complementare; un sottoinsieme B di R è detto “collocato superiormente” se il suo complementare lo precede. Analogamente se invece di R consideriamo R+ (e quindi  A è sottoinsieme di R+ e l'insieme complementare di A è riferito a R+). Assioma di continuità (di R) : Ogni sottoinsieme di R collocato inferiormente è una semiretta illimitata inferiormente   (quindi del tipo  ]-∞ , a]  oppure ]-∞ , a[  ).  Una versione perfettamente equivalente (provare per esercizio tale equivalenza) si ottiene limitandosi ai numeri reali positivi : Assioma di continuità (di R+) : Ogni sottoinsieme di R+=]0,∞[ collocato inferiormente è un intervallo del tipo  ]0,a] oppure ]0,a[. L’elemento a è detto “separatore” (o “elemento di separazione”) fra A e il suo complementare. Esso è anche detto “estremo superiore” di A e “estremo inferiore” del complementare di A  ;   nel caso in cui esso appartiene ad A (ossia  A=]-∞ , a] oppure ]0,a] ) è detto “massimo” di A  ,  mentre nel caso esso non appartiene ad A (ossia  A=]-∞ , a[ oppure ]0,a[ ) esso è detto “minimo” del complementare di A.

Divisibilità : se n è un numero naturale non nullo, per ogni x>0 esiste un unico y>0 tale che ny = x. (Se invece x<0, allora esiste un unico y<0 tale che  n y = x , per provare la quale cosa si procede a dividere –x>0 e poi a cambiare di segno il risultato della divisione).       La dimostrazione (che nel caso n=1 è ovviamente inutile) si ottiene considerando i due insiemi seguenti : A := {z :  nz ≤  x }  e   B :={z :  nz >  x}, che risultano essere complementari e il primo precedente il secondo, per cui si pone y uguale al separatore di A e B. Tale y non può verificare né la condizione ny>x (in quanto se così fosse, preso p > 0 tale che  np < ny-x ,   si avrebbe n(y-p)=ny-np>ny-ny+x=x e quindi y-p minore di y ma in B, invece che in A) né la condizione ny<x (in quanto se così fosse, preso p > 0 tale che  np < x-ny ,  si avrebbe n(y+p)=ny+np<ny+x-ny=x e quindi y+p maggiore di y ma in A, invece che in B) e pertanto deve risultare ny=x.

Introduzione assiomatica degli insiemi numerici R e C

Esercizio - 3^S

Sia P=(1,1) e Q=(r,0), con r non negativo; 1) determinare l’equazione della retta s passante per P e Q 2) determinare l’equazione della retta s_|_(P) passante per P e perpendicolare a s 3) determinare l’equazione della retta s_|_(Q) passante per Q e perpendicolare a s 4) determinare l’equazione della retta s_|_(M) passante per M=(punto medio fra P e Q) e perpendicolare a s 5) detta q(r) la intercetta sulle ordinate della retta al punto (4), stabilire per quali valori di r tale intercetta è positiva, nulla o negativa 6) il caso relativo a q(r)=0 corrisponde ad avere un triangolo isoscele nella figura rappresentante la configurazione per tale caso. Quale è tale triangolo? 7) generalizzare quanto fatto nei precedenti punti (1)...(6) al caso di un punto P=(a,b) con b>0.

PROGRAMMA DI MATEMATICA

CLASSI 5^S e 5^V - anno scolastico 2003/2004 (insegnante: Gaetano Speranza)

Funzioni e loro dominio. Funzioni reali di una variabile. Funzioni reali lineari di variabile reale e loro rappresentazione. Intervalli in R e topologia della retta reale.

Modellii lineari ( y = a x ) e loro traslati ( y = a x + b ). Retta passante per due punti nel piano cartesiano.

Modelli quadratici ( y = a x² ) e loro traslati ( y = a x² + b x + c ). Determinazione della traslazione che trasforma y = a x² in

y = a x² + b x + c .

Velocità di crescita di una funzione. Approssimazione del grafico di una funzione in un suo punto con la retta tangente (problema della linearizzazione locale); il concetto di derivata, esaminato anche con l’uso del computer.

Il concetto di differenziale per funzioni di una variabile reale: approssimazione dell’incremento effettivo con l’incremento lineare.

Principali derivate (delle funzioni y = costante , y = xⁿ , y = a^x , y = sin x , y = cos x , con le relative dimostrazioni) e delle tecniche di derivazione di applicazione delle formule di derivazione di somme, prodotti, composizioni di funzioni.

Applicazioni di tali regole alla determinazione delle derivate di funzioni più composte, quali y = tg x = sin x / cos x .

Le funzioni goniometriche inverse arcsin, arccos, arctg e le loro derivate .

Studio di una funzione utilizzando il calcolo differenziale, con applicazioni a semplici casi.

Successioni ( funzioni con dominio N⁺ ) e limiti di successioni e di funzioni : il numero di Nepero come limite della successione (1+1/n) ⁿ . Richiami delle regole di calcolo con i logaritmi.

Limiti collegati al limite di Nepero. Limite di sin x / x per x tendente a zero. Cenni al concetto di serie.

Il problema della misura dell’area sottesa dal grafico di una funzione (ossia compresa fra questo e l’asse delle ascisse) e compresa fra rette verticali di ascisse date.

Definizione dell’integrale definito di una funzione esteso ad un intervallo [a,b] , introdotto come applicazione dei concetti di limite di una successione e dell’operatore di sommatoria e con equisuddivisione dell’intervallo di integrazione : scaloidi anticipato (o sinistro) e posticipato (o destro) approssimanti. Estensione del processo di integrazione definita al caso di suddivisione qualunque dell’intervallo.

Integrale definito di una somma di funzioni, del prodotto di una funzione per un numero (multiplo di una funzione). Scambio degli estremi di integrazione. Suddivisione dell’intervallo di integrazione [a,b] in unione di sottointervalli [a,c] e [c,b].

Teorema fondamentale del calcolo integrale e collegamento dell’integrale definito con le primitive della funzione integranda.

Integrale indefinito di una funzione, ovvero insieme delle primitive di questa. Esame della motivazione e del significato geometrico della costante di integrazione a meno della quale è individuata una primitiva.

Integrazione, definita e indefinita, per parti, per sostituzione, per decomposizione in somma della funzione integranda.